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Sobre la posición de "para todos" cuantificador

Yo no soy experto en lógica, pero hasta donde yo sé, cuantificadores viene antes de los predicados que se refieren. Aún así, si está escrita en inglés, hay declaraciones que suena mejor cuando no ponga todos los cuantificadores antes. Por ejemplo, la definición de una secuencia de funciones de $f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ convergen uniformemente a una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$:

Para todos los $\varepsilon > 0$, $n_0\in\mathbb{N}\ $ tal que $\ n>n_0 \implies |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$ todos los $x\in\mathbb{R}$

He visto a los profesores a escribir esto como

$$\forall\varepsilon > 0,\ \ \exists n_0\in\mathbb{R}\ \ \text{ such that } \ \ n>n_0 \implies |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon,\ \ \forall x\in\mathbb{R}$$

Tal vez aún más simple ejemplo, de la probabilidad. No es difícil encontrar algo así

$$P[X_n=Y_n, \forall n\in\mathbb{N}]$$

donde $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ son de la colección de variables aleatorias.

Entiendo la motivación: si se habla de esta probabilidad, usted probablemente va a decir la probabilidad de tener $X_n=Y_n$ todos los $n$, y no la probabilidad de que, para todos los $n$, $X_n=Y_n$ . El mismo razonamiento se aplica a la declaración sobre la convergencia uniforme. Que duran para toda la cuantificador encajan mejor en la final de la frase si usted tiene que decir en palabras.

Así que mi pregunta es: ¿este "informal" fórmulas mal (en la lógica formal punto de vista)? O el lenguaje formal de la lógica puede manejar este tipo de escritura?

Gracias.

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JoshL Puntos290

La informal, de lenguaje natural ejemplos son ni de derecha ni de forma incorrecta el punto de vista formal, porque el sector informal de ejemplos no están escritas de una manera formal.

La regla general es que la "última cuantificador" en el lenguaje natural se convierte en el más íntimo cuantificador en lenguaje formal. Aquí están algunos ejemplos comunes de expresiones informales y sus homólogos formales:

  • Una secuencia $(x_n)$ converge a $L$ si para todas las $\epsilon > 0$ hay un $N$ tal que $|x_n - L| < \epsilon$$n > N$. Formalmente: $$(\forall \epsilon > 0)(\exists N)(\forall n)[ n > N \to |x_n - L| < \epsilon]$$

  • Una función de $f$ es continua en un punto a $x$ si para cada a $\epsilon > 0$ no es un porcentaje ($\delta > 0$tal que $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ todos los $y$$|y-x| < \delta$. Formalmente: $$ (\forall \epsilon> 0)(\exists \delta > 0)(\forall y)[|x-y| < \delta \a |f(x) - f(y) | < \epsilon].$$

Esto es algo que rara vez se menciona explícitamente en los libros de texto, sino que tienes que aprender como un estudiante con el fin de leer informal matemáticas correctamente. Pero eso no hace que el sector informal de la matemática "mal" y el reconocimiento formal de las matemáticas "derecho". Simplemente son diferentes formas de abordar el mismo tema.

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Eric Auld Puntos9640

Creo que es correcto que en declaraciones lógicas precisas el cuantificador debe venir primero, y el mathspeak más coloquial es un abuso. Esto me molestó un poco cuando fui desde mi primera clase de lógica a mi primera clase de análisis.

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Tim Raczkowski Puntos14043

Estrictamente en términos de lógica formal, los cuantificadores son al principio de cualquier fórmula. Sin embargo, nadie da una prueba de que está escrita en el lenguaje formal. Incluso pruebas sería muy largo e ilegible. El punto es que declaraciones como el ejemplo de probabilidad que dio pueden escribirse en lenguaje formal.

6voto

Shery Puntos16

Carl Mummert la respuesta es muy buena, pero me gustaría hacer referencia específicamente a los ejemplos que han dado.

Ejemplos como el de

$$\forall\varepsilon > 0,\ \ \exists n_0\in\mathbb{R}\ \ \text{ such that } \ \ n>n_0 \implies |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon,\ \ \forall x\in\mathbb{R}$$

están perfectamente bien en una pizarra: escribir sobre él, toma tiempo y es un proceso dinámico (se ve que se está escrita), probablemente ayudado por el profesor de comentarios. En realidad, la ortografía de todo en palabras tomaría demasiado tiempo y blackboard espacio, y la "dinámica" y el comentario que el texto completamente comprensible (esperemos).

Las cosas son muy diferentes con un stand-alone matemática de texto. De allí, usted debe (como regla general), ya sea deletrear cuantificadores (y conectivos lógicos!) en palabras, como en

Para todos los $\varepsilon > 0$ existe $n_0\in\mathbb{N}\ $ de manera tal que siempre que $\ n>n_0$, $\lvert f_n(x) - f(x)\rvert < \varepsilon$ todos los $x\in\mathbb{R}$.

(y esto es preferible), o explican todo puramente formal, como:

$$\forall\varepsilon > 0\ \ \exists n_0\in\mathbb{N}\ \ \forall n\in {\mathbb N} \ \left( n>n_0 \implies \forall x\in\mathbb{R}\ \ |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon,\right).$$

(En el último caso, usted probablemente también deberían evitar escribir la parte formal en línea (a menos que sea muy corto).)

Usted puede, por supuesto, el uso de diversos métodos de representación de shorthands para la escritura formal, como la escritura de $\forall n>n_0$ o similar y del mismo modo, cuando se escribe en un lenguaje natural, también hay un margen de maniobra: por ejemplo, podría escribir "para todos los verdaderos $x$" en lugar de "para todos los $x\in {\mathbb R}$", por lo que hay un margen de maniobra en cuanto a hechizos y de qué manera formal a ser, pero la mezcla de lenguaje formal y el lenguaje natural demasiado es malo formulario en mi humilde opinión, hace que el texto sea más difícil de leer y más fácil escribir de manera descuidada.

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Markus Scheuer Puntos16133

El correcto uso de una notación formal o más informal depende en particular en el contexto de la presentación. Es esencial para quien nos comunica una idea, y esta debe guiarnos para el uso de un adecuado nivel de notación formal.

Aquí es un extracto de P. R. Halmos' instructivo de papel Cómo escribir las Matemáticas en cuanto al aspecto:

Lo que sobre el uso de la lógica de los símbolos?

P. R. Halmos: he Aquí un ejemplo :

"Demostrar que cualquier número complejo es el producto de un número de no negativo y un número de módulo $1$."

...

Una manera de proceder a la refundición de la oración de ejemplo del párrafo anterior, para establecer el convenio de que todas las "variables individuales" rango en el conjunto de los números complejos y, a continuación, escribir algo como $$\forall z\exists p\exists u [(p=|p|) \wedge (|u|=1) \wedge (z=pu)]. $$

Recomiendo en contra de ella. El simbolismo de la lógica formal es indispensable en la discusión de la lógica de las matemáticas, sino que se utiliza como medio de transmisión de ideas a partir de un mortal a otro se convierte en un complicado código. El autor de código de sus pensamientos en él (que me niego a que nadie piensa en términos de $\exists, \forall, \wedge$, y similares), y el lector tiene que decodificar lo que el autor escribió ; ambos pasos son una pérdida de tiempo y un obstáculo para la comprensión. Simbólico de la presentación, en el sentido de la moderna lógico o la clásica epsilontist, es algo que las máquinas pueden escribir y pocas, pero las máquinas se puede leer.

Sugerencia: también puede echar un vistazo a la cuestión de por Qué no hay ningún signo de la lógica de los símbolos en los textos matemáticos?

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