7 votos

¿Por qué son tensiones de sistemas continuo descritos por un tensor?

Más o menos, el título dice bastante. Me he siempre dicho así pero nadie realmente lo motiva.

Por lo tanto, me gustaría saber por qué utilizamos un tensor para describir las tensiones en la mecánica de medios continuos.

12voto

Lodle Puntos 5070

Al aplicar una fuerza en el $x$-dirección puede cambiar la forma del material en el $y$-dirección. La única manera de capturar este efecto es a través de un tensor.

Si usted tiene un general de la fuerza que actúa sobre su cuerpo $$ \vec F = (F_x, F_y, F_z)^T$$ y usted está interesado en la reacción del cuerpo por mirar a su deformación $$ \vec \epsilon = (\epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_z)^T$$ la deformación en la dirección x, $\epsilon_x$ (en el Gancho límite) dependen linealmente de las fuerzas, lo mismo para el$\epsilon_y$$\epsilon_z$, es decir, $$ \epsilon_x = E_{xx} F_x + E_{xy} F_y + E_{xz} F_z$$ y del mismo modo $$ \epsilon_y = E_{yx} F_x + E_{yy} F_y + E_{yz} F_z$$ $$ \epsilon_z = E_{zx} F_x + E_{zy} F_y + E_{zz} F_z.$$

Estas tres ecuaciones puede ser capturado por una ecuación vectorial $$ \vec \epsilon = \tilde E \vec F$$ o en los componentes $$\epsilon_i = \sum_{k=1}^3 E_{ik} F_k$$

Por supuesto, no puede ser el caso especial en que todos los elementos de la diagonal son cero, entonces usted acaba de recuperar a$\epsilon_x = E_{xx} F_{x}$, y similar,$y, z$.

Finalmente, ¿cómo podemos saber que $\tilde E$ es un tensor y no sólo un conjunto de números? Para ello tenemos que mirar en propiedades de transformación. La Fuerza obviousely es un vector, es decir, bajo rotaciones (el empleo de Einstein de la convención) $$ F_i \to R_{ij} F_j \quad \text{or} \quad \vec F \to \mathbf R \vec F$$ también se $\vec \epsilon$ debe comportarse como un buen vector $$ \epsilon_i \to R_{ij} \epsilon_j \quad \text{or} \quad \vec \epsilon \to \mathbf R \vec \epsilon$$. Conectando a nuestra ecuación vectorial nos encontramos después de la rotación $$\mathbf R \vec \epsilon = \tilde E'\mathbf R \vec F.$$ Para que el lado derecho para ser un vector que tiene que tener la forma $\mathbf R (\tilde E \vec F)$, lo que implica que bajo rotaciones $$ \tilde E \to \tilde E' =\mathbf R \tilde E\mathbf R^{-1}$$ que es exactamente la definición de propiedad de un tensor.

(nota de la notación, yo solía $\tilde{}$ a identificar los tensores y negrita para las rotaciones de las matrices).

7voto

Sandeep Puntos 111

Es un muy famoso teorema debido a Cauchy.

Considere la posibilidad de una porción interna $S$ de una continua cuerpo $C$. Hay dos tipos de fuerzas que actúan sobre ella: las Fuerzas proporcionales a la masa, de la forma $$\int_V \mu(x) \vec{f}(x) d^3x\tag{0}$$ where $\vec{f}(x)$ is the density of force acting on $x \in V$. And forces acting through the surface $\partial V$, the boundary of $V$, due to the remaining part of continuous body surrounding $V$. Esas fuerzas tienen la forma $$\int_{\partial V} \vec{s}(x, \vec{n}(x)) dS(x)\:,$$ donde $x \in \partial V$ $\vec{n}(x)$ es exterior vector unitario normal a$\partial V$$x$. El vector $\vec{s}(x,\vec{n})$ es el estrés en $x$ en la dirección $\vec{n}$. Para una fija $\vec{n}$, es de señalar, pero una densidad de superficie de la fuerza en $x$. En realidad, desde la $V$ es cualquier parte de la continua cuerpo $C$, $x\in C$ es un punto genérico y $\vec{n} \in \mathbb S^2$ un genérico de dirección.

El mencionado teorema debido a Cauchy establece que, en virtud adecuado (muy leve) físico y matemático hipótesis en $C$, existe un simétrica (Cartesiano) tensor de campo $C \ni x \mapsto \sigma_{ij}(x)$ tal que, para cada $x\in C$$\vec{n} \in \mathbb S^2$, $$s_i(x, \vec{n}) = \sum_{j=1}^3\sigma_{ij}(x) n_j\:.\tag{1}$$ $\sigma$ es el llamado tensor de tensiones (campo) de la continua cuerpo.

El físico hipótesis es justo que sólo los dos tipos de fuerzas que actúan sobre cada porción de la continua cuerpo y que la costumbre, las leyes de Newton de la mecánica de mantener para cada parte del cuerpo. Matemática hipótesis, en su lugar, la preocupación de la regularidad de las funciones.

Es importante destacar que el resultado es válido para todo tipo de continua cuerpo, no necesariamente elástico o plástico o líquido. En el primer par de casos, sin embargo, $\sigma$ es una función de la deformación del cuerpo.

ADDENDUM. Cauchy teorema de la prueba es bastante fácil. Uno escribe "F=ma" para una secuencia de porciones $V_n \subset C$ de continua cuerpo tiende, por $n\to +\infty$, a fijo a un punto común $x\in \cap_n\partial V_n$, mientras que la preservación de la dirección $\vec{n}$$x$. En el límite de la fuerza de masas, como en (0) así como la aceleración desaparecen más rápidamente que las fuerzas de superficie. De ahí que las fuerzas de superficie debe tener fuga resultante. Como se ve, este último hecho es matemáticamente equivalente a decir que la función $$\vec{n} \mapsto \vec{s}(x,\vec{n}) \tag{2}$$ extendida por la linealidad a genérico vectores $\vec{n}$ (por lo tanto también con $|\vec{n}|\neq 1$) es lineal.

Un conocido teorema demuestra que cualquier lineal mapa es descrito por un tensor. Por lo tanto, no es un tensor $\sigma(x)$ descripción (2), como en (1). La simetría de $\sigma$ puede posteriormente (fácilmente) ser demostrado a partir de la tercera ley de Newton de la dinámica.

2voto

Joce Puntos 1558

Tomar una plana, rectangular material. Restantes 2D, se pueden aplicar fuerzas en los bordes de diferentes maneras. Usted puede ejercer:

  • "apretar" la fuerza a lo largo de los bordes verticales, que será el $xx$ componente del tensor,

  • "apretar" la fuerza a lo largo de los bordes horizontales, que será el $yy$ componente del tensor,

  • una fuerza cortante a lo largo de los bordes verticales, que será el $xy$ componente del tensor,

  • una fuerza cortante a lo largo de los bordes verticales, que será el $yx$ componente del tensor.

En 3D, los pares de direcciones en ${x,y,z}$ dar nueve componentes. Así que usted puede ver por qué usted necesita $d^2$ componentes para describir la tensión en cualquier punto.

0voto

Niels Bosma Puntos 200

El estrés tiene que ser un tensor porque describe el impulso de flujo.

Pensar acerca de la analógica de corriente $j_i$ y la masa dada por una densidad de $\rho$. El componente $j_i$ da la componente de la corriente de masa en el $i$th dirección. Para llenar la analogía, vamos a hablar de la ecuación de continuidad $\frac{d\rho}{dt} = - \partial_i j_i$.

Ahora vamos a pensar en el impulso. Como la masa, se conserva, pero se puede mover de un lugar a otro. No podemos definir un impulso densidad, que me limitaré a llamar a $p_i$ y un impulso de corriente. Ahora este impulso actual tendrá dos índices: el primero especifica que el componente de impulso (debido a que cada componente se conserva indiviually) y los otros especificar el componente de la corriente. Así que el segundo índice es análoga a la de un único índice de la corriente que hemos tenido en el caso de la masa. El impulso actual es denotado $\sigma_{ij}$. Para continuar con la analogía sería de esperar una ecuación de continuidad $\frac{dp_i}{dt} = -\partial_j \sigma_{ij}$. De hecho, debido a una señal de la convención de la ecuación de continuidad es $\frac{dp_i}{dt} = \partial_j \sigma_{ij}$, pero es exactamente la misma idea.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: