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Productos de fibra de cerrado subschemes

Deje $U = Spec(A)$ $V = Spec(B)$ ser afín a los esquemas. Deje $X$ ser separados de su esquema. Supongamos que existen morfismos $U \to X$$V \to X$. Entonces es el mapa $$A \otimes_{\Gamma(X, \mathcal O_X)} B \to \Gamma(U \times_X V, O_{U \times_X V})$$ surjective?

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jodonnell Puntos 265

Deje $Y=\operatorname{Spec}(\Gamma(X,\mathcal{O}_X)).$ Tenemos un natural de morfismos $X\rightarrow Y$ correspondiente a la identidad de mapa en $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$. Así tenemos morfismos de $U$ $V$ $Y$así por la composición.

Ahora, considere la posibilidad de $U\times_XV$$U\times_YV$. Para los esquemas generales $U,V,X,Y$ con mapas de $U,V\rightarrow X$ $X\rightarrow Y,$ hay un mapa de $U\times_X V\rightarrow U\times_Y V$ y este mapa es un cambio de base del mapa de $X\rightarrow X\times_YX,$ que es un cerrado de incrustación como $X\rightarrow Y$ está separado, que es debido a $X$ $Y$ son separadas, siendo uno de ellos separados por definición, y el otro afín. (A ver que $U\times_X V\rightarrow U\times_Y V$ es de hecho un cambio de base de a $X\rightarrow X\times_YX$ a lo largo del mapa $U\times_Y V\rightarrow X\times_Y X$, probar la característica universal de la fibra de diagramas.)

Por lo tanto, sabemos que $U\times_X V\rightarrow U\times_Y V$ es un cerrado de involucración y que, en particular, la inducida por el mapa mundial de las secciones es surjective. Pero esto es exactamente el mapa en el problema, por lo que se hace.

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