Encontrar todas las funciones $ F : R \rightarrow R $ tiene la propiedad de que para cualquier $x_1$ $x_2$ la siguiente desigualdad se cumple:
$ F(x_1) - F(x_2) \le (x_1 - x_2)^2 $
Mi intento:
Observar que
$ -(x_1 - x_2)^2 \le F(x_1) - F(x_2) \le (x_1 - x_2)^2 $
Asumir WLOG que $ x_1 - x_2 >0 $, luego tenemos
$ -(x_1 - x_2) \le (F(x_1) - F(x_2))/(x_1 - x_2) \le x_1 - x_2 $
Como $ x_1 $ tiende a $x_2$, tenemos
$ 0 \le dF/dx \le 0 $
por lo tanto
$ dF/dx = 0 $
Por lo tanto, $ F(x) = $ constante
Es esta la solución correcta? (probablemente no, porque el problema no dicen nada acerca de la función sea diferenciable)
Cualquier sugerencia será muy bien, gracias.
Encuentre todas las funciones que satisfagan una desigualdad dada
- Preguntado el 8 de Enero, 2018
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¿Demasiados anuncios?Me gusta tu enfoque. Mi única observación es que usted debe dar algunos detalles más sobre esta desigualdad que se utiliza:
$$\etiqueta{1}
|F(x_1)-F(x_2)|\le (x_1-x_2)^2.$$
Esto es una consecuencia de la dada en el texto, a saber
$$\etiqueta{2}
F(x_1)-F(x_2)\le (x_1-x_2)^2,$$
porque en esto de la desigualdad de la derecha es invariante bajo permutación de $x_1, x_2$, mientras que la mano izquierda no lo es. Para que podamos actualizar (2)
$$\tag{3} \max\{ F(x_1)-F(x_2), F(x_2)-F(x_1)\} \le (x_1-x_2)^2, $$
y esto es exactamente (1).
P. S. La actualización de (2) a (3) es un ejemplo de la técnica de amplificación, en palabras de Terry Tao.
Tiene razón, y como punto de interés, este problema es uno de los problemas del ataúd. Problema 2 en este enlace
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