5 votos

Encuentre todas las funciones que satisfagan una desigualdad dada

Encontrar todas las funciones $ F : R \rightarrow R $ tiene la propiedad de que para cualquier $x_1$ $x_2$ la siguiente desigualdad se cumple:

$ F(x_1) - F(x_2) \le (x_1 - x_2)^2 $

Mi intento:

Observar que

$ -(x_1 - x_2)^2 \le F(x_1) - F(x_2) \le (x_1 - x_2)^2 $

Asumir WLOG que $ x_1 - x_2 >0 $, luego tenemos

$ -(x_1 - x_2) \le (F(x_1) - F(x_2))/(x_1 - x_2) \le x_1 - x_2 $

Como $ x_1 $ tiende a $x_2$, tenemos

$ 0 \le dF/dx \le 0 $

por lo tanto

$ dF/dx = 0 $

Por lo tanto, $ F(x) = $ constante

Es esta la solución correcta? (probablemente no, porque el problema no dicen nada acerca de la función sea diferenciable) Cualquier sugerencia será muy bien, gracias.

4voto

Martin Puntos 2000

Me gusta tu enfoque. Mi única observación es que usted debe dar algunos detalles más sobre esta desigualdad que se utiliza: $$\etiqueta{1} |F(x_1)-F(x_2)|\le (x_1-x_2)^2.$$ Esto es una consecuencia de la dada en el texto, a saber $$\etiqueta{2} F(x_1)-F(x_2)\le (x_1-x_2)^2,$$ porque en esto de la desigualdad de la derecha es invariante bajo permutación de $x_1, x_2$, mientras que la mano izquierda no lo es. Para que podamos actualizar (2) $$\tag{3} \max\{ F(x_1)-F(x_2), F(x_2)-F(x_1)\} \le (x_1-x_2)^2, $$ y esto es exactamente (1).

P. S. La actualización de (2) a (3) es un ejemplo de la técnica de amplificación, en palabras de Terry Tao.

2voto

kimchi lover Puntos 361

Tenemos$$|F(x+nh)-F(x)| \le \sum_{k=1}^n|F(x+kh)-F(x+(k-1)h)|\le n h^2.$$ Let $ x = x_1$ and $ h = (x_2-x_1) / n$ so $ | F (x_2) -F (x_1) | \ le (x_2- x_1) ^ 2 / n$. Now let $ n \ a \ infty $.

2voto

pureundersgrad Puntos 121

Tiene razón, y como punto de interés, este problema es uno de los problemas del ataúd. Problema 2 en este enlace

1voto

John Pick Puntos 3514

Creo que querías decir abs (F (x1) -F (x2)) <(x1-x2) ^ 2. De todos modos, si divide por abs (x1-x2), y luego tiende x1 a x2, puede probar que F es diferenciable en x1

1voto

Cory Schires Puntos 696

Estoy de acuerdo con el usuario Aymane Gr. Una solución alternativa es notar que, por$x$$$F(x) - F(0) = \sum_{i=1}^n F\left(i\frac{x}{n}\right)-F\left((i-1)\frac{x}{n}\right) \leq n \left(\frac{x}{n}\right)^2 = \frac {x^2}{n} \quad \forall n,$% $$F(x) = F(0)$ arbitrario.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: