Encontrar todas las funciones $ F : R \rightarrow R $ tiene la propiedad de que para cualquier $x_1$ $x_2$ la siguiente desigualdad se cumple:
$ F(x_1) - F(x_2) \le (x_1 - x_2)^2 $
Mi intento:
Observar que
$ -(x_1 - x_2)^2 \le F(x_1) - F(x_2) \le (x_1 - x_2)^2 $
Asumir WLOG que $ x_1 - x_2 >0 $, luego tenemos
$ -(x_1 - x_2) \le (F(x_1) - F(x_2))/(x_1 - x_2) \le x_1 - x_2 $
Como $ x_1 $ tiende a $x_2$, tenemos
$ 0 \le dF/dx \le 0 $
por lo tanto
$ dF/dx = 0 $
Por lo tanto, $ F(x) = $ constante
Es esta la solución correcta? (probablemente no, porque el problema no dicen nada acerca de la función sea diferenciable)
Cualquier sugerencia será muy bien, gracias.
Respuestas
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Martin
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Me gusta tu enfoque. Mi única observación es que usted debe dar algunos detalles más sobre esta desigualdad que se utiliza:
$$\etiqueta{1}
|F(x_1)-F(x_2)|\le (x_1-x_2)^2.$$
Esto es una consecuencia de la dada en el texto, a saber
$$\etiqueta{2}
F(x_1)-F(x_2)\le (x_1-x_2)^2,$$
porque en esto de la desigualdad de la derecha es invariante bajo permutación de $x_1, x_2$, mientras que la mano izquierda no lo es. Para que podamos actualizar (2)
$$\tag{3} \max\{ F(x_1)-F(x_2), F(x_2)-F(x_1)\} \le (x_1-x_2)^2, $$
y esto es exactamente (1).
P. S. La actualización de (2) a (3) es un ejemplo de la técnica de amplificación, en palabras de Terry Tao.
kimchi lover
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pureundersgrad
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Tiene razón, y como punto de interés, este problema es uno de los problemas del ataúd. Problema 2 en este enlace
John Pick
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Cory Schires
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