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¿Cómo interpretar las unidades del producto punto o cruz de dos vectores?

Supongamos que tengo dos vectores $a=\left(1,2,3\right)$ y $b=\left(4,5,6\right)$ , ambos en metros.

Si tomo su producto punto con el definición algebraica me lo dan:

$$a \cdot b = 1\mathrm m \cdot 4\mathrm m + 2\mathrm m \cdot 5\mathrm m + 3\mathrm m \cdot 6\mathrm m = 4\mathrm m^2 + 10\mathrm m^2 + 18\mathrm m^2 = 32 \mathrm m^2$$

El análisis dimensional me dice que es en metros al cuadrado, si he entendido bien.

Sin embargo, al hacer el producto cruzado, obtengo esto:

$$a \times b = \left[ \begin{array}{c} 2\mathrm m \cdot 6\mathrm m - 3\mathrm m \cdot 5\mathrm m\\ 3\mathrm m \cdot 4\mathrm m - 1\mathrm m \cdot 6\mathrm m\\ 1\mathrm m \cdot 5\mathrm m - 2\mathrm m \cdot 4\mathrm m\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -3 \mathrm m^2\\ 6 \mathrm m^2\\ -3 \mathrm m^2\\ \end{array} \right] $$

Esto tampoco tiene sentido para mí.

No sé si estoy pensando en esto de la manera correcta, así que mi pregunta es la siguiente: al multiplicar por puntos o en cruz dos vectores, ¿cómo interpreto las unidades del resultado? Esta pregunta no se refiere a las interpretaciones geométricas.

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El álgebra abstracta podría ayudar. Espacios de productos internos , Espacios duales , Productos en cuña bajo interpretaciones razonables, los valores producidos por un producto cruzado no están en el mismo espacio que los vectores fuente. Fuera de $R^3$ tienen un número diferente de dimensiones. Otra cosa que hay que recordar es que el análisis dimensional probablemente debería incluir los vectores base en cuestión, y no simplemente despreciarlos. $x,y,z$ ¿Qué es? $x \cdot x$ o $y \times y$ ?

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Si puedo hacer un tapón para álgebra geométrica En este caso, está claro que todos los productos vectoriales -tanto los internos como los externos- tendrían las unidades que has encontrado (metros al cuadrado en este ejemplo). Bivectores se asocian siempre a las zonas.

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deadbug Puntos 853

Como ACuriousMind ya ha señalado En este caso, se puede interpretar geométricamente la longitud del producto cruzado de dos vectores como el área del paralelogramo (o como el doble del área del triángulo) que abarcan, y (los valores absolutos de) sus componentes como las áreas de las proyecciones de ese paralelogramo sobre los planos de coordenadas.

En cuanto al producto punto de dos vectores, basado en el ley de los cosenos se puede interpretar como la mitad de la diferencia entre la suma de sus cuadrados y el cuadrado de su diferencia:

Diagram 1

$$\|\vec a - \vec b\|^2 = \|\vec a\|^2 + \|\vec b\|^2 - 2(\vec a \cdot \vec b).$$

En otras palabras, tomando los vectores como dos lados de un triángulo, el producto punto mide (la mitad) la cantidad por la que Ley de Pitágoras falla para este triángulo.

Otra forma de interpretar geométricamente (el valor absoluto de) el producto punto es como la mitad del área del triángulo formado por girando uno de los vectores en 90° en su plano común, y luego tomar los vectores resultantes como dos lados de un triángulo:

Diagram 2

Esto se desprende de la conocida fórmula del producto punto $\vec a \cdot \vec b = \|\vec a\| \|\vec b\| \cos \gamma$ , donde $\gamma$ es el ángulo entre $\vec a$ y $\vec b$ de la fórmula del área del triángulo $T = \frac12 \|\vec a'\| \|\vec b\| \sin \gamma'$ , donde $T$ es el área del triángulo formado por los vectores $\vec a'$ y $\vec b$ y $\gamma'$ es el ángulo entre ellos, y el hecho de que los ángulos $\gamma$ y $\gamma'$ son complementarios, por lo que $|\cos \gamma| = |\sin \gamma'|$ .

Obsérvese la similitud con el producto cruzado. De hecho, siempre tenemos $\|\vec a \times \vec b\| = |\vec a' \cdot \vec b|$ , donde $\vec a'$ es $\vec a$ ¡girados 90° en su plano común (o en cualquiera de los planos, si hay varios)!


Ps. Me he dado cuenta (después de publicar esta respuesta) de que has preguntado específicamente por el unidades de los productos y "no de las interpretaciones geométricas". Aun así, estos ejemplos deberían mostrar al menos que tanto el producto punto como el producto cruz de dos vectores de longitud pueden, de hecho, interpretarse de forma significativa como áreas, y por tanto no debería sorprender que, si los vectores originales tienen unidades de, digamos, metros, entonces su producto se medirá en metros cuadrados.

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No estoy de acuerdo en que el truco del vector girado sea una interpretación física. ¿Cómo se interpola la rotación, o incluso se escribe correctamente? Esto funciona con coordenadas adimensionales, pero en una situación física...?

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@Ilja: No estoy muy seguro de lo que preguntas. Rotar algo en 90° seguramente es una operación con sentido físico; no veo que necesite ningún tipo de "interpretación". Si quieres, puedes coger un palo y girarlo físicamente 90º, en cualquier plano que elijas, para ver que efectivamente es posible y tiene sentido físico en el espacio físico real.

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Tienes razón, girar algo es posible, pero eso no lo hace significativo. Y considerar el área abarcada por un vector y otro vector girado es demasiado exagerado... ¿cuál sería el significado de este paralelogramo en $F\cdot\Delta s$ con una rotación $F$ ¿ por ejemplo? Y además, como he dicho, tendrás algunos problemas para escribir la rotación en términos de los dos vectores (podrías, por ejemplo, utilizar dos productos cruzados, pero eso no sugiere que tenga un significado sencillo)

16voto

Sora Puntos 113

La longitud del producto cruzado de dos vectores es el área del paralelogramo atravesado por ellos, por lo que los metros cuadrados son la unidad correcta, además de tener sentido geométrico: es realmente un área. El $x$ -es el área de la proyección del paralelogramo sobre el $y$ - $z$ -plano, el $y$ -componente el área de la proyección sobre el $z$ - $x$ -y el $z$ -es el área de la proyección sobre el $x$ - $y$ -Avión.

La unidad del producto punto no es realmente significativa. Es, por definición, la longitud de la proyección del primer vector sobre el segundo por la longitud del segundo (o viceversa), lo que no se corresponde directamente con ningún área. Tiene unidades de metros cuadrados por definición, pero no hay ninguna interpretación más profunda detrás de ello que pueda ver.

6 votos

Creo que la forma de dar sentido a la dimensión del producto punto no es como área, sino como longitud al cuadrado, ya que $\sqrt{\mathbf v \cdot \mathbf v} = |\mathbf v| $ . Por supuesto, esto sólo cubre el caso del producto punto de un vector por sí mismo.

3 votos

De hecho, es posible interpretar el producto punto de forma geométrica. Véase mi respuesta para ver algunos ejemplos.

7voto

Dan Asimov Puntos 81

Me parece que siempre puedes factorizar las unidades de los componentes de un vector y reescribirlo como un vector (físicamente) adimensional por esas unidades. Entonces los productos punto y cruz funcionan en los vectores sin dimensiones y las unidades adjuntas simplemente se multiplican como lo hacen en cualquier problema no vectorial.

En cuanto a la interpretación de las unidades resultantes, dependerá de si ha construido algo que tenga un significado físico o no. Supongo que se podría tomar el producto cruzado de dos vectores de fuerza pero no creo que signifique nada (pero me interesaría ver una interpretación si a alguien se le ocurre). Por supuesto que se puede tomar el producto cruzado de un vector de posición y un vector de fuerza e interpretar el resultado como un par.

Su producto punto de dos vectores de posición tiene como unidades los metros cuadrados porque corresponde a una longitud proyectada por otra longitud. Y el producto cruzado sí corresponde a un área como ya han señalado otros.

5voto

woody Puntos 63

El producto punto de dos longitudes no se da en ninguna parte de la física, por eso la unidad no tiene sentido.

Normalmente, se tiene un producto punto en una situación como $\cos(k\cdot r)$ donde el $\vec k$ se elige para dar un número significativo (fase) en el producto punto, tiene la unidad 1/m. Vive en un espacio completamente distinto al de los radios-vectores, pero de alguna manera están conectados en el sentido de que se pueden comparar las direcciones de $\vec r$ y $\vec k$ pueden ser paralelos, etc. Este "de alguna manera" necesita algunas matemáticas para escribirlo más claramente: en resumen, los k-s representan funcionales lineales en el espacio real...

O tienes un producto punto en algo como el cálculo del trabajo, donde la unidad es obviamente significativa, también. La matemática debería ser similar aquí.

El producto cruzado se explica en la otra respuesta.

2 votos

Buena respuesta, aunque OMI es un poco fuerte decir que el producto punto de dos longitudes "se en ninguna parte en la física". Por ejemplo, ciertamente puede tener sentido considerar tal producto si simplemente se quiere afirmar que dos cosas son ortogonales, estableciendo $\vec{a}\cdot \vec{b} = 0$ (lo que, por supuesto, significa que puedes cancelar las unidades). Por supuesto, se podría objetar que en realidad se está invocando el Operador estrella de Hodge en este caso, pero eso podría complicar demasiado las cosas.

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Sí, parece complicado, pero recuerdo que me sentí "aliviado" cuando me di cuenta de que había es una forma matemáticamente concisa de hablar de estas cosas. Y sí, digo que comprobar si dos cosas son ortogonales significa tomar la proyección de una sobre la otra -esa es la formulación simple-, lo que también se puede llamar tomar el producto escalar, pero esto implica el elemento dual a uno de los vectores. Este último no está conectado trivialmente con el primer vector en un sistema no ortogonal.

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Pero esto es probablemente un argumento sobre las palabras :) ya que la raíz del producto con sí mismo es tan común, que uno podría darle algunos derechos de existencia real

3voto

orion Puntos 1444

Un producto punto, al igual que un producto regular, producirá una cantidad diferente, normalmente con una unidad diferente. No es de extrañar, la multiplicación siempre lo hace (ese es el sentido de las unidades: forman un grupo multiplicativo).

Consideremos la versión de la escuela primaria de trabajo=fuerza*desplazamiento. Se escribe como $W=Fx$ (como "escalares"), probablemente no se oponga a ello. Pues bien, resulta que sólo la fuerza a lo largo de el desplazamiento cuenta como trabajo, y en general, hay que escribir $W={\bf F\cdot x}$ . Así que nada ha cambiado realmente, salvo que ahora se tienen en cuenta las direcciones (el producto punto sólo multiplica las partes de los vectores que son paralelas entre sí). La unidad resultante es, por supuesto, el Joule (u otra unidad de energía), al igual que en el caso escalar.

Para un producto cruzado, es esencialmente lo mismo. Considere la torsión. Usted tiene $\bf M= r\times F$ . El par es una magnitud diferente a la distancia o la fuerza. Así habría sido sin la naturaleza vectorial de las cantidades.

Sin embargo, hay algo más sutil que eso. El producto vectorial no produce un verdadero vector, no cuando lo miras de cerca. El "sentido" de las componentes del producto vectorial tiene un sentido orientado al área... así que no es "cuánto de esto-y-esto tenemos en alguna dirección" sino "cuánto de esto-y-esto pasa por un área que apunta en alguna dirección". A eso lo llamamos pseudovectores (vectores axiales). Además de tener esta "sensación" de circularidad alrededor de alguna dirección (mira el par de torsión - se retuerce alrededor de un eje), también tiene diferentes propiedades de simetría. Si se invierten todos los vectores de la ecuación (se da la vuelta a la flecha), el producto cruzado hace no voltear la flecha (porque en realidad no es una flecha, es un eje).

Este punto "fino" no es necesario para entender la parte de las unidades (eso es sólo porque un producto siempre crea una cantidad diferente), pero lo incluyo para completarlo. Las cantidades físicas son algo más que números con unidades. Hay un significado y un comportamiento detrás. Sólo hay que recordar que el trabajo y el par tienen las mismas unidades, pero uno es un escalar, y el otro es un pseudovector.

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