Supongamos$X \sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$,$Y \sim N(\mu_y,\sigma_y^2)$ y$\operatorname{Corr}(X,Y)=\rho$. Estoy interesado en calcular percentiles de$Z = \max(X,Y)$. Podemos asumir la normalidad bivariada.
Sé cómo encontrar el pdf, la media y la varianza de$Z$, pero tengo problemas para resolver o encontrar una aproximación para los percentiles. ¿Se ha resuelto esto en algún lugar de la literatura?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Se puede calcular este numéricamente. Como para que los resultados teóricos, no tengo una referencia a la literatura, pero aquí hay un cálculo de cómo su problema está relacionado con la normal estándar CDF $\Phi$.
La articulación pdf
$$f(x_1,x_2)=\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{z}{2(1-\rho^2)}\right]$$
donde
$$z=\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}.$$
Por simplicidad asumiremos $\mu_1=\mu_2=0$, $\sigma_1=\sigma_2=1$:
$$f(x_1,x_2)=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{z}{2(1-\rho^2)}\right],\qquad z=x_1^2 - 2\rho x_1x_2 + x_2^2.$$
Ahora tenemos, con $x^2-2\rho xy = (x-\rho y)^2-\rho^2y^2$, que
$$\Pr(\max(X,Y)\le a)=\int_{-\infty}^a\int_{-\infty}^a f(x,y)\,dx\,dy=$$
$$\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^a\exp\left(-\frac{y^2}{2(1-\rho^2)}\right)\int_{-\infty}^a \exp\left(-\frac{x^2-2\rho xy}{2(1-\rho^2)}\right)\,dx\,dy$$
$$=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^a\exp\left(-\frac{y^2}{2}\right)\int_{-\infty}^a \exp\left(-\frac{(x-\rho y)^2}{2(1-\rho^2)}\right)\,dx\,dy$$
Deje $W$ ser normal con una media de $\rho y$ y la varianza $1-\rho^2$. Entonces
$$\Pr(W\le a)=\Pr\left((W-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\le (a-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\right)$$
$$=\Phi\left((a-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\right).$$
Así, obtenemos
$$\Pr(\max(X,Y)\le a)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^a \exp\left(-y^2/2\right)\Phi\left(\frac{a-\rho y}{\sqrt{1-\rho^2}}\right)\,dy.$$
Usted puede ver que si $\rho=0$ es $\Phi(a)^2$, como debe ser.