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¿Puede extender a campos del vector en un múltiple?

¿Sé que no necesariamente se puede extender un campo del vector liso definido en un subconjunto de un múltiple a todos lo maniffold, pero pueden se extender por lo menos a un sistema abierto? (Por supuesto estoy hablando de extensiones lisas)

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Jesse Madnick Puntos 13166

Usted probablemente ya está enterado del resultado que no todos liso campo vectorial definida en un subconjunto abierto admite una extensión lisa para una mayor conjunto abierto. Por ejemplo, el campo de vectores $V(x) = \frac{1}{x(x-1)}\ \mathbf{e_1}$ $(0,1)\subset\mathbb{R}$ admite no lisa extensión a un mayor conjunto abierto.

Por otro lado, por lo general se define un campo vectorial suave sin abrir subconjunto $A$ como uno que admite una extensión lisa en una vecindad de cada punto de $A$. (Más precisamente, un suave campo de vectores $V$ sobre un conjunto $A$ es uno de los que para cada $p \in A$, existe un conjunto abierto $U$ contiene $p$ y una suave extensión de $\widetilde{V}$ definido en $U$ cuya restricción a $U \cap A$ está de acuerdo con $V$.)

Sin embargo, es un hecho que cada liso campo de vectores $V$ define en una incrustado submanifold $S \subset M$ que se cierra como un subconjunto de a $M$ admite una suave extensión a todos los de $M$. No recuerdo cómo la prueba va de improviso, pero probablemente implica una partición de la unidad argumento.

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Robert Haraway Puntos 1155

Como Qiaochu ha insinuado, la definición de la suavidad de un vector campo $V$ en un % múltiple (presumiblemente suave) $M$en un subconjunto arbitrario $S$ es que ya es un barrio abierto $U \supset S$ en que hay un % de campo liso del vector $V'$restringir a $V$ $S.$ así que la respuesta es sí, por definición.

Edit: uy! Casé con pala. :)

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Javier G Puntos 9

Sí, estoy de acuerdo con Jesse Madnick, debe usar las particiones de la unidad y definir tal ese campo. Buscar en el libro Lee "Introducción para alisar los múltiples".

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