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¿Cómo se relaciona esta integral con la proporción áurea?

Me encontré con un interesante integral y me pregunto cómo en el mundo puede referirse a la Proporción áurea, $\frac{1}{\phi}$.

El problema dice que la solución debe incluir la Proporción áurea, $\frac{1}{\phi}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

$\int\limits_{-\infty}^{0}n^{x}(n+1)^{x}dx$

He evaluado es lo suficientemente fácil de usar las partes. Llegué a

$\frac{1}{ln(n^{2}+n)}$.

Pero, se me escapa es cómo esto puede ser escrita en términos de la citada Proporción áurea.

He encontrado algo en las Excursiones en el Cálculo por Robert Young que se refiere a una espiral logarítmica a la Proporción áurea, pero me parece bastante dudoso.

$\frac{1}{ln(\beta)}=\frac{\pi}{2ln(\phi)}$

La sustitución de la beta con $n^{2}+n$ y resolviendo para n da una solución, pero tengo la duda si es correcto.

Me doy cuenta de que n y n+1 podría estar de alguna manera relacionado con la secuencia de Fibonacci?.

Todos los pensamientos son apreciados. Gracias

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Knox Puntos 1543

Ustedes tienen una expresión de la integral, que es $I(n) = 1/\log n(n+1)$. Una buena cosa a comprobar es si esta integral es finito o no. Cuando no sería finito? Precisamente cuando el denominador es cero, o cuando

$$\log n(n+1) = 0$$

que se produce cuando

$$n(n+1) = 1 \quad \Rightarrow\quad n^2 + n - 1 = 0$$

La sustitución de $n\to 1/m$ da la ecuación

$$m^2 - m - 1 = 0$$

que tiene la conocida solución positiva $m=1.618\dots$, la proporción áurea.

Por lo $n=1/\phi$ es el número mágico (la "salsa secreta" como GEdgar) lo que significa que la integral no es finito!


Adenda.

Podemos han dado cuenta de esto desde el principio? Sí. Aviso de que su integral puede escribirse

$$\int_{-\infty}^0 [n(n+1)]^x dx$$

que es todo lo fino y elegante, mientras $n(n+1) > 1$. Si estás en el límite, $n(n+1)=1$, entonces usted está integrando

$$\int_{-\infty}^0 dx$$

lo que es claramente infinito.

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