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¿Cuál es la diferencia absoluta esperada entre muestra y población media?

Intro

Una media muestral es un estimador imparcial de la población. En otras palabras, la diferencia esperada entre la población y la media de la muestra es igual a cero, independientemente de la distribución de la población. En otras palabras $E[\bar x - x_p]=0$ donde $\bar x$ $x_p$ son de la muestra y la población media, respectivamente.

Pregunta

Dado que la población se distribuye normalmente con varianza $\sigma^2$ y conociendo el tamaño de la muestra $n$, lo que se espera que la diferencia absoluta entre la población y la media de la muestra?

o en forma matemática:

$$E[\space| \bar x - x_p |\space] = \space ?$$

Las líneas verticales que significa "valor absoluto"

12voto

Dilip Sarwate Puntos 16161

Se trata de una adición a la respuesta de @Aksakal. Como señala, necesitamos encontrar el valor de $E|Y|]$ donde $Y \sim \mathcal N(0,\sigma^2/n)$. Esto puede hacerse muy straightforwadly a través de la ley de la estadístico inconsciente, sin necesidad de pensar en las variables $\chi$ random etcetera. Tenemos\begin{align} E[|Y|] &= \int_{-\infty}^\infty |y|\cdot\frac{1}{(\sigma/\sqrt{n})\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{y^2}{2\sigma^2/n}\right)\,\mathrm dy\\ &= 2\int_{0}^\infty y\cdot\frac{1}{(\sigma/\sqrt{n})\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{y^2}{2\sigma^2/n}\right)\,\mathrm dy\\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\int_{0}^\infty \frac{y}{\sigma^2/n}\cdot \exp\left(-\frac{y^2}{2\sigma^2/n}\right)\,\mathrm dy\\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}~\left[-\exp\left(-\frac{y^2}{2\sigma^2/n}\right)\right|_0^\infty\\ &= \sqrt{\frac{2}{n\pi}}\cdot\sigma \end {Alinee el}

8voto

Aksakal Puntos 11351

La media de la muestra va a ser normal debido a que la distribución subyacente es normal. La distribución de la media de la muestra es $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2/n)$.

Es fácil calcular la expectativa de que la desviación absoluta a continuación:

$$\bar x-\mu\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2/n)$$

Todo lo que necesita es la expectativa de valor absoluto de una normal. Una distribución es el valor absoluto de una distribución normal, se llama "doblado normal". En nuestro caso el normal subyacente (de la desviación de la población) tiene una media de cero, por lo tanto se reduce a una $\chi$ distribución con grados de libertad 1. Usted puede encontrar las fórmulas en cualquier lugar: $$\sigma\sqrt{\frac{2}{n\pi}}$$

7voto

AdamSane Puntos 1825

Considerar una variable aleatoria normal $Y$ media $\mu$y varianza $\tau^2$ y que $Z=\frac{Y-\mu}{\tau}$ (sea $Z$ normal estándar).

$$\:\:E(|Z|)=2\int_0^\infty z\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz$$

$\quad$Que $u=\frac{z^2}{2}$, que $du=z \,dz$ de #%.

$$\qquad=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty e^{-u} du$$

$$=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\qquad\quad$$

Por lo tanto, $E(|Y-\mu|)=\tau E(|Z|)=\tau\sqrt{\frac{2}{\pi}}$.


Que $X\sim N(\mu,\sigma^2)$. Que $Y=\bar{X}$. Entonces $\tau=\sigma/\sqrt{n}$.

Por lo tanto, $E(|\bar{X}-\mu|)=E(|Y-\mu|)=\tau\sqrt{\frac{2}{\pi}}=\sigma\sqrt{\frac{2}{n\pi}}\quad$ ($\approx 0.8 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$)

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