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¿El % de condición $E[X]=E[X^2]=E[X^3]$determinar la distribución de $X$?

Esta es una pregunta por pura curiosidad, motivado por esta publicación. Aquí he comprobado que si una $\mathbb{R}$valores de variable aleatoria $X$ ha finito $4$-ésimo momento y $E[X^2]=E[X^3]=E[X^4]$ $X$ es una variable aleatoria de Bernoulli. De hecho, esto sigue notando que

$$ E[X^2(1-X)^2] = E[X^4] - 2E[X^3] + E[X^2] = 0 $$

y, por tanto,$X(1-X) = 0$.s., es decir,$P(X \in \{0, 1\}) = 1$.

Así que podemos preguntarnos si el requisito puede ser relajado, preguntándole a la siguiente pregunta.

Pregunta. Si un $\mathbb{R}$valores de variable aleatoria $X$ satisface $E[X] = E[X^2] = E[X^3]$, entonces se sigue que la $X$ tiene una variable aleatoria de Bernoulli? I. e. $P(X = 0 \text{ or } 1) = 1$?

  • Aviso de que hay ejemplos de $X$ donde $E[X] = E[X^2]$ pero $X$ no tiene una distribución de Bernoulli. (Por ejemplo, pongamos $Z \sim \mathcal{N}(0, 1)$ y establezca $X = \frac{1}{2}(1+Z)$.) Así que el 3 de momento la condición no se puede quitar.

  • Si $X$ satisface la condición dada, por lo que no $1-X$.

  • Si asumimos $X \geq 0$, entonces la respuesta es sí, ya que $X(X-1)^2 \geq 0$$E[X(X-1)^2] = 0$.

Yo intenté crear una variable aleatoria discreta (aparte de Bernoulli r.v.s) que satisfacen la condición, pero este enfoque no ha sido exitoso hasta el momento. Y para ser honesto, no estoy seguro de si esto será cierto o no.

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Math Lover Puntos 335

Han averiguado un ejemplo por ti mismo. De hecho, si $X = \frac{1}{2}(1+Z)$, donde $Z \sim \mathcal{N}(0, 1)$ y $$E[X^3] = \frac{1}{8}(1+3E[Z]+3E[Z^2]+E[Z^3])=\frac{1}{2}=E[X]=E[X^2].$ $

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