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Dividir un rectángulo en 4 partes en la proporción 1:2:3:4, con sólo 2 líneas

Tengo un rectángulo formado por 30 cuadrados idénticos (5 de alto y 6 de ancho).

Dibujando sólo dos líneas en el rectángulo, divide el rectángulo en 4 partes donde las áreas están en la proporción 1:2:3:4.

¿Cómo se puede hacer esto? Lo intenté durante una o dos horas, pero fue en vano.

Descargo de responsabilidad: Esta pregunta NO ha sido creada por mí.

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Si no lo has hecho tú, ¿dónde has encontrado esta pregunta? ¿Está ya en alguna parte, y alguna solución impresa?

9 votos

Utilizaría la primera línea para dividirla por la mitad, de modo que en un lado estará el $1$ y $4$ zonas y el $2$ y $3$ estará en el otro lado. Entonces puedes tomar la segunda línea y moverla hacia arriba y hacia abajo y girar hasta que esté bien. Estoy seguro de que esto es posible.

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@coffeemath esto lo compartió uno de mis amigos (oralmente), y dijo algo de que estaba en los exámenes nacionales de un colegio. Me retó a resolverlo; ¡y aquí estoy!

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Technophile Puntos 101



En primer lugar, divide el rectángulo en partes iguales por su lado largo, como se sugiere en los comentarios. En el rectángulo de la izquierda, marca el punto que es $\frac45$ del camino hacia arriba y centrado horizontalmente; haz lo mismo para el rectángulo derecho, pero marca el punto sólo $\frac35$ del camino hacia arriba. A continuación, dibuja la línea que une los dos puntos marcados. Como esta línea cruza los bordes izquierdo y derecho de todo el rectángulo, los cuatro triángulos pequeños que se muestran arriba (delimitados entre las líneas púrpura y gris más oscuro) tienen la misma superficie, por lo que el rectángulo de la izquierda está dividido 1:4 y el de la derecha 2:3. En total, el rectángulo se ha dividido en cuatro partes con proporción 1:2:3:4.

Esta solución no requiere mover las piezas como en la respuesta de Donald Splutterwit.

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¿Cómo llegó a esta solución la primera vez?

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@TiwaAina Después del primer corte, mi enfoque fue encontrar un punto dentro de cada rectángulo resultante para que los cortes a través de ese punto (siempre que no pasaran por los bordes superior e inferior) siempre dividieran el rectángulo en la proporción deseada. Estos puntos son los marcados en la respuesta anterior. Quedaba por hacer que el segundo corte pasara por estos dos puntos marcados.

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aPaulT Puntos 488

Una solución alternativa muy similar a la de Parcly (imagen creada con cariño en Excel):

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JSX Puntos 62

Tienes que mover las dos piezas a las posiciones correctas antes de realizar el segundo corte.

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7 votos

No creo que debas mover las piezas para el segundo corte...

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@ParclyTaxel si vuelves a deslizar el rectángulo manteniendo fijos los puntos de intersección de la segunda línea, deberías obtener algo parecido a tu respuesta, ¿no?

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@Giuseppe algo.

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Yly Puntos 649

Existe una familia infinita de soluciones de un parámetro. A continuación se presenta un algoritmo para encontrarlas todas. Como spoiler, señalaré por adelantado que este algoritmo funciona igualmente bien para cualquier subconjunto convexo de $\mathbb{R}^2$ --no sólo el rectángulo particular de 5 por 6 en cuestión.

Para empezar, vamos a etiquetar las regiones del rectángulo disecado con los números 1,2,3,4, en correspondencia con su parte del área. Si observamos el orden de las cuatro regiones a medida que nos movemos en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto de cruce de las dos líneas, empezando por la región 1, hay 6 posibilidades: (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3), (1,4,3,2). La figura siguiente muestra un ejemplo, donde n,p,q son cualquier permutación de 2,3,4.

rectangle

Paso 1 del algoritmo: Elija una disposición de las regiones entre las 6 posibilidades.

Examinemos ahora qué ocurre si elegimos una orientación determinada para la línea $l$ (especificado, por ejemplo, por un vector unitario, o un ángulo con respecto a alguna línea de referencia) que recorre el lado contrario a las agujas del reloj de la región 1, como se muestra en la figura anterior. Sea $n$ sea el número de la región que es vecina de la región 1 en el sentido de las agujas del reloj. Entonces queremos $l$ para dividir el rectángulo en dos regiones, una con fracción $\frac{1+n}{10}$ de la superficie total. Si imaginamos un barrido $l$ a través del rectángulo, vemos que toda el área se mueve de un lado a otro de la línea de forma monótona. Por el teorema del valor intermedio, existe una única recta $l$ que hace el trabajo.

Paso 2 del algoritmo: Elija una orientación para la línea $l$ . Por las observaciones anteriores, esto especifica la línea por completo.

Ahora afirmo que la posición de la segunda línea $l'$ se especifica de forma única por las elecciones que ya hemos hecho. Esto se deduce de tres observaciones:

  1. Para cualquier punto de intersección entre las dos líneas, existe una orientación única de la segunda línea $l'$ que obtiene la relación de las áreas 1 y $n$ derecho. Esto también se deduce por el teorema del valor intermedio.
  2. La orientación encontrada en el punto (1) varía monotónicamente con la posición del punto de cruce a lo largo de la línea $l$ .
  3. Si el punto de cruce está en un final de línea $l$ y, a continuación, elegir $l'$ como la anterior haría que una de las regiones $m$ , $q$ en el otro lado tienen área cero. Así que, de nuevo, por el teorema del valor intermedio, hay una posición única del punto de cruce a lo largo de $l$ que consiga la proporción de las dos regiones restantes.

Resumen: La división del rectángulo puede especificarse de forma única mediante dos opciones: La disposición (1,n,p,q), y la orientación de la línea $l$ .

Comentario:

  1. Los ejemplos dados por Parcly Taxel y aPaulT corresponden a una orientación paralela al lado corto del rectángulo y a una disposición (1,2,3,4) y (1,3,2,4), respectivamente.
  2. Además de funcionar para cualquier subconjunto convexo de $\mathbb{R}^2$ Este algoritmo también funciona perfectamente para relaciones distintas de 1:2:3:4.
  3. Es posible refinar este algoritmo en una fórmula explícita para las líneas $l$ y $l'$ en función de la disposición de las regiones y la orientación de $l$ . La razón por la que no lo he hecho es que la fórmula tiene una molesta definición a trozos. La raíz del problema es que al barrer una línea con orientación fija sobre un rectángulo, el área a cada lado cambia de manera no suave cada vez que se llega a una esquina.
  4. Para poner en práctica este algoritmo, a continuación se presenta una nueva solución al problema. Me he limitado al caso especial en el que las regiones 1 y 4 son adyacentes, porque en este caso la línea que las divide de las regiones 2 y 3 debe dividir el rectángulo en dos regiones de igual área. La única manera de hacerlo es que la línea correspondiente pase por el centro del rectángulo, y esto simplifica el algoritmo.

solution

Las ecuaciones de las líneas en este caso son $y = \frac{5}{6} x$ para $l'$ (una diagonal del rectángulo) y $x = \frac{6(\sqrt{2}+1)}{5} - \frac{12(\sqrt{2}-1)}{25} y$ para $l$ .

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