31 votos

¿El conjunto vacío es un subconjunto de sí mismo?

Lo siento, pero no creo que pueda saberlo, ya que es una definición. Por favor, dígame. No creo que $0= \emptyset\ ,$ ya que distingo entre el conjunto vacío y el valor $0$ . ¿Todos los conjuntos, incluso el conjunto vacío, tienen un vacío infinito, por ejemplo, todos los conjuntos, incluido el conjunto vacío, contienen infinitamente muchos conjuntos vacíos?

6 votos

Sí, pero no un subconjunto adecuado.

4 votos

Usted se refiere a el conjunto vacío, lo que sugiere que ya sabe que hay un único conjunto que está vacío, entonces ¿qué quiere decir con "contener infinitos conjuntos vacíos"?

0 votos

@TrevorWilson Como los miembros del conjunto deben ser únicos, sólo puede haber un subconjunto vacío para cada conjunto. Estaba pensando en algo como {}∈{}∈{}∈{}∈{}∈{}∈... que siempre se puede conseguir un nuevo conjunto vacío.

48voto

Shabaz Puntos 403

Sólo hay un conjunto vacío. Es un subconjunto de todos los conjuntos, incluido él mismo. Cada conjunto sólo lo incluye una vez como subconjunto, no un número infinito de veces.

8 votos

Supongo que es una pregunta estúpida, pero ¿qué es un conjunto que incluye cualquier conjunto más de 1 vez?

11 votos

@DominicMichaelis: A multiset puede incluir varias copias de elementos. No es una pregunta estúpida en absoluto.

1 votos

@DominicMichaelis Esa es una buena pregunta. Gracias por preguntar. Nunca había oído hablar de eso.

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Alexander Gruber Puntos 21477

Dejemos que $A$ y $B$ ser conjuntos. Si cada elemento $a\in A$ también es un elemento de $B$ entonces $A\subseteq B$ .

Dale la vuelta a eso y tendrás

Si $A\not\subseteq B$ entonces existe algún elemento $x\in A$ tal que $x\notin B$ .

Si $A$ es el conjunto vacío, no hay $x$ s en $A$ Así que, en particular, no hay $x$ s en $A$ que no están en $B$ . Así, $A\not\subseteq B$ no puede ser cierto. Además, nótese que no hemos utilizado ninguna propiedad de $B$ en la línea anterior, por lo que esto se aplica a cada conjunto $B$ , incluyendo $B=\emptyset$ .

(Desde un punto de vista más amplio, se puede pensar en el conjunto vacío como el conjunto para el que $x\in \emptyset\implies P$ es verdadera para cada declaración $P$ . Por ejemplo, cada $x$ en el conjunto vacío es naranja; además, todo $x$ en el conjunto vacío no es naranja. No hay contradicción en ninguna de estas afirmaciones porque no hay $x$ que podrían proporcionar contraejemplos).

6voto

Brian Hinchey Puntos 1112

El conjunto vacío es subconjunto del conjunto vacío, ya que todo elemento del conjunto vacío es un elemento del conjunto vacío. Pero $0$ no está en el conjunto vacío.

$A \subseteq B$ cuando $x\in A \implies x\in B$ . Como $x\in A \iff x\in A$ vemos que $A \subseteq A$ es siempre verdadera, cuando $A$ es un conjunto.

Un valor es un valor no un conjunto, a veces $0$ se define como el conjunto vacío, pero entonces $0$ es el conjunto vacío y no el número.

Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría de categorías, ya que sólo te interesan los conjuntos abstractos, y todos los conjuntos de la misma cardinalidad son, en cierto sentido, iguales, sólo titulas los conjuntos finitos por su cardinalidad.

5voto

Steven Lu Puntos 866

Cualquier es un subconjunto de sí mismo. Sea $$A=\{x\,\vert\,\varphi(x)\}.$$ Como $$\varphi(x)\implies \varphi(x),$$ tenemos $$A\subseteq A.$$

3voto

user153012 Puntos 4406

Porque el reflexividad de $\subseteq$ para todos $A$ set $A \subseteq A$ es cierto. Para $A = \emptyset$ tenemos que $\emptyset \subseteq \emptyset$ por lo que el conjunto vacío es un subconjunto de sí mismo.

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