¿Tienen la misma área dos triángulos rectángulos con la misma longitud de la hipotenusa?

Question

He observado los monitores de los ordenadores y me he preguntado si dos monitores con la misma diagonal de pantalla tienen la misma superficie de visualización.

He conseguido averiguar que la respuesta es sí, si dos triángulos rectángulos con la misma longitud de la hipotenusa tienen la misma área. La respuesta es trivial si los dos triángulos son idénticos, y según Teorema de Tales Sé que hay casos en los que dos triángulos rectángulos tienen la misma longitud de hipotenusa, pero no son idénticos (la longitud de los catetos y los ángulos son diferentes).

Así que mi última pregunta:

¿Tienen la misma área dos triángulos rectángulos no idénticos con la misma longitud de la hipotenusa?

Supongo que la respuesta es sí, pero no puedo dar una prueba que esté 100% segura.

Answer 1

No. Considere la siguiente imagen:

$\hspace{90pt}$

Todos los triángulos tienen la misma hipotenusa, pero uno de ellos tiene un área de $r^2$ mientras que otros pueden tenerlo arbitrariamente pequeño.

Espero que esto ayude $\ddot\smile$

Answer 2

La respuesta ya está dada, pero no he podido resistirme a esta explicación.

Imagina una escalera que se apoya en la pared y se desliza lentamente por ella. En cada momento se obtiene un triángulo rectángulo con la misma hipotenusa. Si dejamos que $f(t)$ sea el área en el momento $t$ entonces $f(t)$ será continua y en algún momento (cuando la escalera toque el suelo) será cero. En los momentos anteriores es positivo por lo que por el teorema del valor intermedio alcanzará todos los valores en algún intervalo $[0, x]$ para algún positivo $x$ .

Answer 3

No. Con la hipotenusa como base, el área es la misma si y sólo si la altura es la misma. Usando Tales, puedes ver que hay puntos del semicírculo que tienen diferentes distancias de la hiptenusa/diámetro.

Answer 4

Simplemente toma dos triángulos rectos con la misma hipotenusa:

$$1^2+2^2=(\sqrt 5)^2,\quad S=1$$ o $$ \left(\sqrt{5/2}\right)^2+\left(\sqrt{5/2}\right)^2 = (\sqrt 5)^2, \quad S= \frac 54.$$

Answer 5

No, puedes tener triángulos rectos con hipotenusa $l$ y cualquier área $A$ en el rango $0<A\leq l^2/4$ .