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Demostrar que $\liminf x_n = -\limsup (-x_n)$

¿Cómo podemos demostrar que $\liminf x_n = -\limsup (-x_n)$?

Las definiciones que estamos utilizando son
$\limsup xn = \lim\limits{n\to\infty} \sup{x_k; k\ge n}$
$\liminf xn = \lim\limits{n\to\infty} \inf{x_k; k\ge n}$

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Jim Petkus Puntos 3447

Voy a ir con la definición que usted menciona. La definición de $\liminf x_n$ como el límite más pequeño de todos convergen las subsecuencias en $[-\infty,+\infty)$ $\limsup$ como el más grande, etc... la declaración ligeramente más fácil de comprobar.

Suponga que usted ha demostrado que $-\sup (-A)=\inf A$ para cada subconjunto $A$$\mathbb{R}$. Aplicando esto al conjunto de $A=\{x_n\;;\;n>N\}$ rendimientos: $$ -\sup_{n>N}(-x_n)=\inf_{n>N}x_n\qquad \forall N. $$ Tomando el límite en ambos lados da la fórmula. Incluso en el caso de que estas secuencias son una constante igual a$-\infty$$\liminf x_n=-\infty$$\limsup (-x_n)=+\infty$.

Ahora vamos a demostrar la propiedad del conjunto. Claramente, $A$ no está delimitado por debajo de si, y sólo si $-A$ no está delimitado por encima. En este caso, obtenemos $-(+\infty)=-\infty$ y de la propiedad que posee. Supongamos ahora no estamos en el último caso. Tome $a\in A$. Tenemos $$ m\leq\qquad\ffi\qquad -a\leq m. $$ Por lo tanto, $m$ es un límite inferior para $A$ si y sólo si $-m$ es un límite superior para $-A$. De ello se desprende que $-\inf A$ es un límite superior para $-A$, lo $\sup(-A)\leq -\inf A$. Y de la misma manera, $-\sup(-A)$ es un límite inferior para $A$, lo $-\sup(-A)\leq \inf A$. Esto demuestra la igualdad de $-\sup(-A)=\inf A$.

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