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Son los autovalores de a $AB$ igual que los autovalores de a $BA$? (Cita requerida!)

Primero de todo, estoy loco pensando en que si $\lambda$ es un autovalor de a $AB$ donde $A$ $B$ ambos $N \times N$ matrices (no necesariamente invertible), a continuación, $\lambda$ también es un autovalor de a $BA$?

Si no es cierto, entonces bajo qué condiciones es verdadera o no es verdad?

Si es cierto, puede que nadie me señale una cita? No lo pude encontrar en una rápida lectura de Horn & Johnson. He visto un par de pruebas de que el polinomio característico de a $AB$ es igual al polinomio característico de a $BA$, pero ninguno con las citas.

Un trivial prueba estaría bien, pero una citación es mejor.

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Nic Wise Puntos 4722

Si $v$ es un autovector de a $AB$ para algun $\lambda$ distinto de cero, $Bv\ne0$ y $$\lambda Bv=B(ABv)=(BA)Bv,$$ entonces $Bv$ es un autovector para $BA$ con el mismo autovalor. Si $0$ es un autovalor de $AB$ entonces $0=\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(BA)$ por lo tanto $0$ es tambien un autovalor de $BA$.

De manera más general, el lema Jacobson en operador de la teoría indica que para cualquiera de los dos operadores acotados $A$ $B$ que actúa sobre un espacio de Hilbert $H$ (o más en general, para cualquier par de elementos de un álgebra de Banach), los puntos nulos del espectro de $AB$ coinciden con los del espectro de $BA$.

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