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Anillo de enteros es un PID, pero no es un dominio Euclídeo

He notado que para demostrar campos como la $\mathbb{Q}(i)$ $\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i}{3}})$ han clase número uno, nos muestran que son Euclidiana dominios por tessalating el plano complejo con los puntos de $a+bv : a, b \in \mathbb{Z}$ donde $1, v$ es una parte integral de la base. Entonces cualquier $c +dv$ en el campo ha distancia $\leq 1$ a partir de algunos de celosía punto. Por otro lado, una similar geométricas argumento falla con el campo de $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$, que no tiene clase número uno.

Cualquier anillo de enteros de un número finito de extensión de $\mathbb{Q}$ es un dominio de Dedekind, por lo tanto, un PID si y sólo si una unidad flash usb. Pero, ¿como un anillo de ser un PID, pero no de ser un dominio Euclídeo?

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David HAust Puntos 2696

Sí, el de abajo es un dibujo, una prueba de que $\rm\: \mathbb Z[w],\ w = (1 + \sqrt{-19})/2\ $ es un no-Euclidiana PID, basado en observaciones de Hendrik W. Lenstra.

El estándar de la prueba generalmente se emplea el Dedekind-Hasse criterio para probar que es un PID, y la universal de lado divisor criterio para probar que no es Euclidiana, por ejemplo, ver Dummit y Foote. El último criterio es esencialmente un caso especial de investigación de Lenstra, Motzkin, Samuel, Williams et al. que se aplica en mucho más amplia generalidad para Euclidiana dominios. Usted puede obtener una comprensión más profunda de la Euclídea dominios de la excelente encuestas por Lenstra en Mathematical Intelligencer 1979/1980 (Euclidiana Número de Campos 1,2,3) y Lemmermeyer magnífica de la encuesta El algoritmo de Euclides algebraica número de campos. A continuación se dice esbozó una prueba de Lenstra, extraído de George Bergman de la página web.


Deje $\rm\:w\:$ denotar el número complejo a $\rm\ (1 + \sqrt{-19})/2\:,\:$ $\rm\:R\:$ el anillo de $\rm\: Z[w]\:.$ Demostraremos que los $\rm\:R\:$ es un director ideal de dominio, pero no Euclidiana anillo. Este es el Ejercicio III.3.8 de Hungerford del Álgebra (2ª edición), pero no se darán pistas; la prueba descrito aquí fue esbozada por me (Bergman) por H. W. Lenstra, Jr.

$(1)\ $ Compruebe que $\rm\ w^2\! - w + 5 = 0,\:$ que $\rm\ R = \{m + n\ w\ :\ m, n \in \mathbb Z\} = \{m + n\ \bar w\ :\ m, n \in \mathbb Z\},\:$ donde la barra indica el complejo de la conjugación, y que el mapa $\rm\ x \to |x|^2 = x \bar x\ $ es no negativa de valor entero y respeta la multiplicación.

$(2)\ $ Deducir que $\rm\ |x|^2 = 1\ $ para todas las unidades de $\rm\:R\:,\:$ y el uso de un límite inferior en el valor absoluto de la parte imaginaria de cualquier noneal miembro de $\rm\:R\:,\:$ a la conclusión de que las únicas unidades de $\rm\:R\:$ $\pm 1\:.$

$(3)\ $ Asumiendo $\rm\:R\:$ tiene un Euclidiana función de $\rm\:h,\:$ deje $\rm\:x\ne 0\:$ ser un nonunit de $\rm\,R\,$ minimizar $\rm\: h(x).\:$ Muestran que $\rm\:R/xR\:$ se compone de las imágenes en este anillo de $\:0\:$ y las unidades de$\rm\:R\:,\:$, por lo que ha de cardinalidad en la mayoría de las $3$. Lo distinto de cero anillos son de tal cardinalidades? Espectáculo $\rm\ w^2 - w + 5 = 0 \ $ no tiene solución en cualquiera de estos anillos, y deducir una contradicción, mostrando que R no es Euclidiana.

Vamos a mostrar ahora que $\rm\:R\:$ es un director ideal de dominio. Para ello, vamos a $\rm\:I\:$ ser cualquier valor distinto de cero ideal de $\rm\:R\:,\:$ $\rm\:x\:$ un elemento distinto de cero de a $\rm\:I\:$ de menos valor absoluto, es decir, minimizando el número entero $\rm\ x \bar x\:.\:$ vamos a demostrar $\rm\ I = x\:R\:.\:$ (por Lo tanto, estamos utilizando la función de $\rm\ x \to x \bar x\ $ como un sustituto de una Euclidiana función, aunque no disfrute de todas estas propiedades.)

Para su comodidad, nos vamos a "normalizar" nuestro problema tomando $\rm\ J = x^{-1}\ I\:.\:$ $\rm\:J\:$ $\rm\:R$- submódulo de $\:\mathbb C\:,\:$ contiene $\rm\:R\:$ y no tener ningún elemento distinto de cero de valor absoluto $< 1\:.\:$ vamos a mostrar, a partir de estas propiedades que $\rm\: J - R = \emptyset\:,\:$ es decir, que $\rm\ J = R\:.$

$(4)\ $ Mostrar que cualquier elemento de a $\rm\:J\:$ que ha distancia de menos de $1$ a partir de algún elemento de $\rm\:R\:$ debe pertenecer a $\rm\:R\:.\:$ Deducir que en algún elemento de $\rm\ J - R\:,\:$ la parte imaginaria debe ser diferente de cualquier múltiplo de $\:\sqrt{19}/2\:$ al menos $\:\sqrt{3}/2\:.\:$ (Sugerencia: dibuje una imagen que muestra el conjunto de los números complejos que la anterior observación excluye. Sin embargo, a menos que le indiquen lo contrario, esta imagen no sustituye a una prueba; es simplemente para ayudarle a encontrar una prueba.)

$(5)\ $ Deducir que si $\rm\: J - R\:$ es no vacío, debe contener un elemento $\rm\:y\:$ con parte imaginaria en el rango de $\rm\ [\sqrt{3}/2,\ \sqrt{19}/2 - \sqrt{3}/2]\:,\:$ y en el rango de $\rm\: (-1/2,\ 1/2]\:.$

$(6)\ $ Muestran que, para un $\rm\: y\:,\:$ el elemento $\rm\: 2\:y\:$ tienen parte imaginaria demasiado cerca de $\:\sqrt{19}/2\:$ a mentir en $\rm\: J - R\:.\:$ Deducir que $\rm\ y = w/2\ $ o $\rm- \bar w/2\:,\:$ y que, por ende, $\rm\ w\ \bar w/2\ \in J\:.$

$(7)\ $ Calcular $\rm\: w\ \bar w/2\:,\:$ y obtener una contradicción. A la conclusión de que $\rm\:R\:$ es un director ideal de dominio.

$(8)\ $ Lo que va mal con estos argumentos, si reemplazamos $19$ todo por $17$? Por $23$?

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Tom Oldfield Puntos 7330

Aquí es lo que creo que es una buena manera de encontrar un par de Pid que no Euclidiana. No es muy elemental, pero si usted sabe un poco acerca de los campos de número creo que es mucho más fácil y más agradable que el de la normal de la esclava.

Deje $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ $d>3$ squarefree, con anillo de enteros $\mathcal{O}_K$. A continuación, las únicas unidades en $\mathcal{O}_K$$\pm1$.

Supongamos $\mathcal{O}_K$ es la Euclídea con Euclidiana función de $\varphi$. A continuación, tome $x \in \mathcal{O}_K\setminus\{0,\pm1\}$ $\varphi(x)$ mínimo. Por definición, cualquier elemento de $\mathcal{O}_K$ puede ser escrita en la forma $px+r$ donde $\varphi(r) < \varphi(x)$, por lo que debe ser ese $r \in \{0,\pm1\}$, es decir, $|\mathcal{O}_K/(x)|$ $2$ o $3$. En otras palabras $\mathcal{O}_K$ tiene un director ideal de norma $2$ o $3$.

Así que ahora sabemos que si $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ tiene clase número uno, donde $d>3$ es squarefree*, $K$ es un no-Euclidiana PID si no hay elementos en $\mathcal{O}_K$ norma $\pm2$ o $\pm3$. Como $K$ es un PID (y el grado $2$$\mathbb{Q}$), esto es equivalente a decir que el $2$ $3$ son inertes. Para encontrar algunos ejemplos a continuación:

Si $d = 3\pmod{4}$, $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-d}}{2}]$, el polinomio mínimo de a$\frac{1+\sqrt{-d}}{2}$$\mathbb{Q}$$f_d(X)=X^2-X+\frac{1+d}{4}$. La aplicación de Dedekind del criterio que da ese $d$ obras a condición de que $f_d(X)$ es irreductible $\pmod{2}$$\pmod{3}$. Esto luego se le da a ese $d = 19$ funciona (que es lo habitual), pero también muestra que $d = 43,67$ o $163$ funciona tan bien (creo!).

*Se puede demostrar que esto implica $d \in \{1,2,3,7,11,19,43,67,163\}$

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