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El desarrollo de la unidad de círculo en geometrías con diferentes métricas: más allá de los taxis

En mi clase había un buen momento de volver a desarrollar el círculo unitario bajo el taxi métrica. Ahora algunos de ellos quieren volver a hacerlo con otro tipo de métrica. Quiero dar esto a algunos de mis "honores" de alta escuela* cálculo I a los estudiantes a trabajar en forma independiente. Como tal, no puede ser demasiado difícil o requerir demasiados conceptos avanzados.

Lo que es otra métrica que podía presentarlos donde uno puede describir a un "círculo unitario" y tratar de hacer sentido del seno, coseno y tangente funciones?

*Tengo un grupo de estudiantes de secundaria matriculados en un curso de colegio. El curso, según lo planeado, es mucho demasiado fácil para ellos. (Al mismo tiempo, es muy difícil para los estudiantes matriculados. Vaya usted a saber.) Después de que los estudiantes de secundaria ¿qué ha sido asignado por el sistema de enseñanza en línea les tengo que trabajar en otras cosas-- que me permiten ser bastante auto-guiado.

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cjstehno Puntos 131

Dos divertidos distancias en $\mathbb{R}^2$:

El ascensor de distancia.

$$ d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \begin{cases} \vert y_1 - y_2 \vert & \text{if}\ x_1 = x_2 \\ \vert y_1 \vert + \vert x_1 - x_2 \vert + \vert y_2\vert & \text{otherwise} \end{casos} $$

El correo de la oficina de distancia.

$$ d(p,q) = \begin{cases} 0 & \text{if}\ p = q \\ \|p\| + \|q\| & \text{otherwise} \end{casos} $$

Una buena pregunta: ¿por qué son llamados "ascensor" y "el correo de la oficina de" distancias, respectivamente? :-)

EDIT. Como Arturo Magidin señala, con estas distancias de bolas centrada en el origen, no son particularmente interesantes: usted tiene que tratar con las bolas NO centrada en el origen.

MÁS EDICIÓN. No: ¿usted ha visto a Arturo Magidin comentario sobre la fabricación de las bolas centradas en el origen "interesante"?

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Lorin Hochstein Puntos 11816

Cualquier norma define una distancia, por $d((a,b),(c,d)) = ||(a-c,b-d)||$. Algunas de las normas comunes:

  1. Hay todas las $p$-normas: $||(x,y)||_p = \sqrt[p]{|x|^p + |y|^p}$ (el habitual de la norma se produce con $p=2$); usted puede hacer para cualquier $p$, $0\lt p\lt \infty$.

  2. El sup norma: $||(x,y)||_{\infty} = \max\{|x|,|y|\}$.

  3. Usted puede tomar un positivo combinación lineal de las normas para crear una nueva.

  4. Dado cualquier transformación lineal $A\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, y cualquier norma $||\cdot||$, se puede definir la norma de que los mapas de $(x,y)$$||A(x,y)||$.

También existe la métrica discreta, a pesar de que se cree un lugar desagradable "círculo unidad".

Es realmente agradable para el tratamiento de la sup de la norma, el $p$-normas, y el taxi norma juntos. Si se dibuja la unidad de "círculos" para todos ellos, el límite de la $p$ normas $p\to 0^+$ es el rol de la norma, mientras que el límite de $p\to\infty$ es el sup norma.

7voto

Collin K Puntos 6535

Es un hermoso resultado de Hermann Minkowski que cualquier avión de forma centralizada simétrica conjunto convexo puede servir como la "unidad de la bola" de una función de distancia.

4voto

skinp Puntos 2096

Una estrecha relación con los dos en Agusti la respuesta es lo que yo llamo el autobús métrica (a pesar de que me cambie el nombre para reflejar el nombre de la empresa de autobuses local - que parece cambiar cada vez que me enseñan acerca de la métrica espacios!). Esto es:

$$ d(p,q) = \begin{cases} \|p - q\|_2 & \text{if } p, q, 0 \text{ are collinear} \\\\ \|p\|_2 + \|q\|_2 & \text{otherwise} \end{casos} $$

(En Trondheim (donde yo estoy), a continuación, la mayoría de las rutas de autobús se radial, por lo que vincular a los estudiantes de la intuición.)

Los estudiantes podrían hacer una bonita animación de lo que sucede a una bola de la longitud de unidad centrada en un punto de $(x,0)$ $x$ rangos de, digamos, $-2$$2$.

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