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Gráficos de bocetos: la mayoría de los puntos importaint

Actualmente, estoy estudiando para un examen que pone mucho énfasis en bosquejar las gráficas de algunas funciones, sin nada, pero una regla y un lápiz. Me refiero difícil funciones, por ejemplo:

  • $y = \sin^2(x)$

  • $y=\dfrac{1-x-x^2}{x^2}$

Yo siempre trato de esbozar estas funciones por la reescritura de ellos a un formulario de inmediato me puede anotar, o la simplificación de ellos de alguna manera o de otra. Por ejemplo, para $y=\sin^2(x)$ pensé que acababa de tomar el absoluto de $y=\sin(x)$.

Pero todavía es difícil para mí en realidad con precisión croquis funciones. Un ejemplo de un problema que tengo es que para funciones tales como la segunda, tengo problemas para averiguar si un boceto de 2 no de líneas continuas o 1 continua..

Así que mi pregunta es:

  • Lo que es un buen enfoque para estos bocetos preguntas? Hay una cierta secuencia que puedo seguir con el fin de hacer más fácil (por ejemplo, buscar siempre a $x=0$ primero, y luego encontrar las asíntotas, a continuación,...)?

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John Gallagher Puntos183

Algunos puntos clave:

  • Ceros

  • Locales máximos/mínimos

  • Límite/s del dominio, si el dominio está delimitada a partir de al menos una dirección

  • Límite/s) del soporte (donde la función no es cero), si el soporte es limitado en al menos una dirección

  • Asíntotas, si las hubiere

  • Puntos de inflexión

Aplicación:

$$y=\frac{1-x-x^2}{x^2}.$$

En primer lugar, vamos a buscar los ceros: $1-x-x^2=0$ cuando $$x=\frac{-1\pm \sqrt 5}2.$$

Para la estimación de $\sqrt 5$ y el uso que, quizás señalando los valores exactos.

A continuación, podemos reescribir esto como $$y=\frac{1-x}{x^2}-1.$$ Como $x$ aumenta o disminuye sin límite, todo esto enfoques $y=-1$, así que dibujar la línea.

$$y'=\frac{-x^2+2x(x-1)}{x^4}=\frac{x-2}{x^3},$$ which is $0$ exactly at $2$.

$$y''=\frac{x^3-3x^2(x-2)}{x^6}=\frac{-2x+6}{x^4},$$ which is positive at $2$, so $x=2$ es un mínimo local. Dibujar eso.

La función no está definida en $x=0$ y, de hecho, no tiene límite. Averiguar cuál es la manera que va.

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user43208 Puntos4562

Usuario dfeuer ha dado un poco de muy buena mano se aferra a conseguir en el gráfico. Me gustaría añadir que una vez que usted obtiene todas las $x$-las coordenadas de los locales máximos, mínimos y puntos de inflexión, de la prueba entre los puntos donde la gráfica es creciente/decreciente y cóncava hacia arriba/abajo. Si usted no sabe casi sin pensar en cómo las cuatro formas básicamente mirada (un incremento de+cóncava hacia arriba, disminuyendo+cóncava hacia arriba, aumentando+cóncava hacia abajo, disminuyendo+cóncava hacia abajo), entonces usted puede rápidamente spline esas formas, el uso de la $(x, y)$-las coordenadas de los locales de max y min y puntos de inflexión como anclas. Puntos Extra para exactitud si usted también consigue las pendientes en los puntos de inflexión. Puede ayudar a organizar todo esto con la ayuda de una tabla.

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Voy a suponer que usted está tomando cálculo:

Bocetos gráficos es realmente todo acerca de la traducción de lo que usted sabe acerca de una función a un plano Cartesiano.

He aquí cómo se suele hacer es:

  1. Encontrar el dominio y el rango
  2. Encontrar el comportamiento del final de la función
  3. Encontrar el local mínimos/máximos
  4. Encontrar puntos de infección
  5. Encontrar ceros
  6. Croquis

Voy a hacer un ejemplo aquí:

Consideremos la función $\sin ^2 (x)$, lo que hace de su gráfica?

Primero voy a encontrar el dominio y rango de:

Dominio: Desde la $\sin^2 (x) $ función no tiene ningún agujeros (de forma continua), debemos comprobar tres casos: real positivo números reales números negativos y el cero. Desde $ \sin^2(\frac{\pi}{2}) = 0 $ vemos que la función de las obras de positivos reales, ya que $ \sin ^2 (\frac{-\pi}{2}) = 1$ vemos que funciona por la negativa de reales, y el cero caso es $\sin^2(0)=0$. (Tenga en cuenta que esto no es riguroso en todo, también se puede simplemente confiar en el dominio de la función seno, y ver que es todo número real)

Alcance: Desde la $\sin (x)$ función oscila entre el$\frac{+}{-} 1$, entonces podemos ver que esta función no demasiado, pero ya nada real a la segunda potencia es positiva, esta función solo es positivo. Vamos a dejarlo en que y encontrar el real oscilación cuando nos encontramos con locales de mínimos y máximos.

Siguiente es el comportamiento del final:

Podemos tomar el límite de $x$ va al infinito, pero para esta función no existe (la función pasa a oscilar hasta el infinito). pero creo que a partir de nuestro conocimiento de la función sen podemos saber que esta función oscila hasta el infinito.

Luego están los locales de los mínimos y máximos:

Para ello necesitamos derivados: Recuerde que la pendiente de una línea tangente a una máximos o mínimos es cero, por lo que acabamos de establecer la derivada igual a cero. Desde $$ \frac{d}{dx} \sin^2(x) = \frac{d}{dx} f( g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 2\sin(x) \cdot \cos(x)$$ podemos establecer que igual a cero $$ 0 = 2\sin(x)\cdot \cos(x)$$ wich will be true whenever $\sin (x)$ is equal to zero (i.e $ \pi n , n \in \mathbb{z}$) and when $\cos(x)$ is equal to zero (i.e $ \pi n + \frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{z}$). Ahora sustituimos estos valores en nuestra función original:

  • $\sin^2(0) = 0$
  • $\sin^2(\frac{\pi}{2}) = 1$
  • $\sin^2(-\pi + \frac{\pi}{2}) = 1$
  • $\sin^2(- \pi) = 0$ Así que podemos ver que este gráfico oscila entre el 1 y el 0 con una longitud de onda de $\frac{\pi}{2}$

lo siguiente que debe hacer puntos de inflexión, a través de las segundas derivadas, pero para esta función es necesaria, ya tenemos suficiente información para generar el gráfico. Así que nuestro boceto podría parecerse a:

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