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Continuidad de Lipschitz de$x \mapsto|x|$ sobre$\mathbb{R}$

¿Es$|x|$ Lipschitz continuo? Empecé a estudiar la continuidad de Lipschitz. Creo que es Lipschitz continuo, si tomas el límite M, según la definición como 2. Entonces será Lipschitz continuo en cero. ¿Estoy en lo cierto?

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Renan Puntos6004

Tienes razón.

Uno puede observar que, para cualquier número real$x,y$, tenemos $$ || x | - | y || \ leq 1 \ cdot | xy |,$$ thus $ | \ cdot |$ is $ k$-Lipschitz continuous with $ k = 1 $.

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¿Qué es Lipschitz continuidad? Se dice que el $|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|$ para algunas constantes $M$, para todos los $x,y$.

Si $f(x) = |x|$, luego tenemos básicamente para demostrar que $||x|-|y|| \leq M|x-y|$ para algunas constantes $M$. Este es un conocido de la igualdad y puede demostrarse de la siguiente manera:

Desde $x + (x-y) = y$, por la desigualdad de triángulo que $|x-y| \geq |y| - |x|$.

Del mismo modo, desde la $y + (y-x) = x$, por la desigualdad de triángulo que $|y-x| \geq |x| - |y|$.

El de arriba se reduce a $|x-y| \geq ||x|-|y||$. Por lo tanto, con $M=1$ el se satisface la condición de Lipschitz.

Sin embargo, $f$ no es derivable en cero, de modo que el valor absoluto de la función proporciona un ejemplo importante de un Lipschitz continua de la no-función derivable.

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