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Comparando contables de modelos de ZFC

Consideremos la clase $\cal C$ de los contables de modelos de ZFC. Para ${\mathfrak A}=(A,{\in}_A)$ ${\mathfrak B}=(B,{\in}_B)$ $\cal C$ me dicen que ${\mathfrak A}<{\mathfrak B}$ fib no es inyectiva mapa de $i: A \to B$ tal que $x {\in}_A y \Leftrightarrow i(x) {\in}_B i(y)$ (tenga en cuenta que esta es mucho más débil requisito para $i$ que ser una primaria de incrustación). Mis dos preguntas son :

(1) hay una construcción simple de dos incomparable modelos de ${\mathfrak A},{\mathfrak B}$ ? (es decir, ni ${\mathfrak A}<{\mathfrak B}$ ni ${\mathfrak B}<{\mathfrak A}$).

(2) dos modelos de ${\mathfrak A},{\mathfrak B}$$\cal C$, hay siempre un tercer modelo ${\mathfrak C}$ $\cal C$ tal que ${\mathfrak A}<{\mathfrak C}$${\mathfrak B}<{\mathfrak C}$ ?

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Tim Howland Puntos 3650

Respecto de la pregunta (1).

Yo estaba muy interesado en esta cuestión el año pasado---obsesionado con ella, en realidad---cuando me encontré incapaz de demostrar que el de la natural-aparente ejemplos eran en realidad las instancias de incomparability (por ejemplo, ninguno de los enfoques sugeridos en los diversos comentarios, en realidad el trabajo). Después de mi numerosos ataques contra el fallido, me empezó a en serio para dudar de la gran intuición que subyace a la pregunta, que no debe ser incomparable modelos. Finalmente, yo era capaz de demostrar que, de hecho, cualquiera de los dos modelos contables son comparables por embeddability. Mi artículo está disponible en:

Los principales teoremas son:

Teorema 1. Cada contables del modelo de la teoría de conjuntos $\langle M, {\^M}\rangle$ es isomorfo a un submodel de su propia edificable universo $\langle L^M,{\in^M}\rangle$. Por lo tanto, no es una incrustación $$j:\langle M,{\in^M}\rangle\to \langle L^M,{\in^M}\rangle$$ que es elemental para el cuantificador libre de afirmaciones en el idioma de la teoría de conjuntos.

La prueba utiliza universal dígrafo combinatoria, incluyendo una acíclicos versión de los contables aleatoria de caracteres especiales, lo que yo llamo el contables random $\mathbb{Q}$-graduado dígrafo, y más análogos derivadas como innumerables Fraisse límites, llevando eventualmente a lo que Yo llame a la hipnagógico dígrafo, un conjunto homogéneo, la clase universal, surrealista-números-clasificados acíclicos de la clase de caracteres especiales, que está estrechamente conectado con el surrealista números. La prueba muestra que $\langle L^M, {\^M}\rangle$ contiene un submodel que es universal acíclicos dígrafo de la fila $\text{Ord}^M$, y así, de hecho, este modelo es universal para todos los contables acíclicos binario relaciones de este rango. Al $M$ es infundada, esto incluye todos los acíclicos binario relaciones.

El método de la prueba también se establece el siguiente, que respuestas pregunta (1). La versión 2 en el archivo, la cual se hará visible en un par de días, la cites esta pregunta y Ewan Delannoy.

Teorema 2. Los contables de los modelos de la teoría de conjuntos son linealmente pre-ordenado por embeddability: para cualquiera de los dos modelos contables de la teoría de la $\langle M,{\in^M}\rangle$$\langle N,{\in^N}\rangle$, cualquiera de las $M$ es isomorfo a un submodel de $N$ o a la inversa. De hecho, los contables de los modelos de la teoría de conjuntos son pre-ordenado por embeddability en el tipo de orden exactamente $\omega_1+1$.

La prueba demuestra que la embedability relación en los modelos de la teoría de conjuntos cumple con su ordinal alturas, en que cualquiera de los dos modelos con el mismo ordinales son bi-integrable; más corto modelo incrusta en cualquier taller de modelo; y el mal fundada modelos son todos bi-integrable y universal.

El método de prueba surge más fácilmente en conjunto finito teoría, mostrando que el no estándar hereditariamente finitos conjuntos de $\text{HF}^M$ codificado en cualquier modelo no estándar $M$ de la PA o incluso de $I\Delta_0$ del mismo modo universal para todos los acíclicos relaciones binarias. Este fortalece el clásico teorema de Ressayre, mientras que la simplificación de la la prueba, en sustitución de una saturación parcial y resplendency argumento con un suave apelación a la gráfica de la universalidad.

Teorema 3. Si $M$ es cualquier no estándar del modelo de PA, a continuación, cada contables del modelo de la teoría de conjuntos es isomorfo a un submodel de el hereditariamente finitos conjuntos de $\langle \text{HF}^M,{\in^M}\rangle$ de $M$. De hecho, $\langle\text{HF}^M,{\in^M}\rangle$ es universal para todos contables acíclicos relaciones binarias.

En particular, cada contables modelo de ZFC, e incluso de ZFC más grandes cardenales surge como una submodel de $\langle\text{HF}^M,{\in^M}\rangle$. Por lo tanto, en el interior de cualquier no estándar modelo de conjunto finito teoría, le echaré un vistazo a algunos de los finitos conjuntos y por lo tanto llegar a una copia de cualquier modelo deseado de infinito la teoría de conjuntos, teniendo conjuntos infinitos, infinidad de conjuntos o incluso grandes cardenales del tipo que sea, nos gusta.

El artículo se cierra con una serie de preguntas, que usted puede encontrar en mi post de blog sobre el artículo. Tengo la intención de hacer algunos mathoverflow preguntas acerca de ellos en el futuro cercano.

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Shery Puntos 16

(2) parece cierto. Elegir los modelos con los universos $\lbrace m_j\vert j<\omega\rbrace$, $\lbrace n_j\vert j<\omega\rbrace$ Considerar el lenguaje $L=\lbrace \in, a_i,b_i\vert i<\omega\rbrace$, y la teoría de la $T=ZFC\cup\lbrace a_i\neq a_j\vert i,j\in\omega, m_i\neq m_j\rbrace\cup \lbrace a_i\in a_j\vert i,j\in\omega, m_i\in^{M_1} m_j\rbrace \cup \ldots$

Está claro que si $T$ es consistente, se puede obtener el modelo contable en el que $M_1,M_2$ embed monomorphically por la baja Skolem.

Elegir un fragmento finito de $T$. Las fórmulas de $T$ no se relacionan $a$ $b$ en cualquier forma, de modo que efectivamente es un fragmento de ZFC, además de dos finito (bien fundada y coherente) la afiliación a+no-pertenencia de los gráficos. Pero dicho gráfico puede ser realizado por un conjunto finito en cualquier modelo de ZFC, por la compacidad $T$ es consistente.

(1) creo que se puede tratar de buscar en los modelos que dan cuenta de diferentes subárboles de el Cantor de los árboles (como subdiagramas de su pertenencia a los gráficos). Por ejemplo, uno de ellos podría tener infinitas descendente de la secuencia y otras puede que no. Debe ser factible por la omisión de los tipos de teorema.

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