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Cómo probar: $\left(\frac{2}{\sqrt{4-3\sqrt[4]{5}+2\sqrt[4]{25}-\sqrt[4]{125}}}-1\right)^{4}=5$?

Pregunta:

demostrar que: la hermosa ${\tt sqrt}$-identidad:

$$ \left({2 \\sqrt{\vphantom{\Large Un}\, 4\ -\ 3\,\sqrt[4]{\,5\,}\ +\ 2\,\sqrt[4]{\,25\,}\ - \,\sqrt[4]{\,125\,}\,}\,}\ -\ 1\right)^{4} =5 $$

Puede alguien dispone de métodos para demostrar esto a mano? (Tal vez este problema tiene muchos métodos?debido a que este resultado es un entero. Es una sorpresa para mí.) Gracias

Porque me encontré con esto $$4\ -\ 3\sqrt[4]{\,5\,}\ +\ 2\sqrt[4]{\,25\,}\ -\ \sqrt[4]{\,125\,}$$ no es cuadrada de los números.

19voto

mona Puntos 38

Sugerencia: Establezca $x=5^{1/4}$, luego $$ \frac{2}{\sqrt{4-3x+2x^2-x^3}}-1=x $$ Esta ecuación se simplifica a $$ x(x^4-5)=0 $$ El resto es clara.

6voto

Thomas Puntos 196

Deje $x = 4-3\sqrt[4]{5}+2\sqrt[4]{25}-\sqrt[4]{125}$. Entonces, tenemos:

(1) $x = 4 - 3 \cdot 5^{1/4} + 2 \cdot 5^{2/4} - 5^{3/4}$

(2) $5^{1/4}x = 4\cdot 5^{1/4} - 3 \cdot 5^{2/4} + 2 \cdot 5^{3/4} - 5$ (Multiplicar (1) por $5^{1/4}$)

(3) $(5^{1/4}+1)x = -1 + 5^{1/4} - 5^{2/4} +5^{3/4}$ (Agregar (1) y (2))

(4) $5^{1/4}(5^{1/4}+1)x = -5^{1/4} + 5^{2/4} - 5^{3/4} +5$ (Multiplicar (3) por $5^{1/4}$)

(5) $(5^{1/4}+1)^2x = 4$ (Agregar (3) y (4))

Por lo tanto, $x = \dfrac{4}{(5^{1/4}+1)^2}$. Por lo tanto, $\left(\dfrac{2}{\sqrt{x}}-1\right)^4 = \left(\dfrac{2}{\tfrac{2}{5^{1/4}+1}}-1\right)^4 = (5^{1/4}+1-1)^4 = 5$.

3voto

martinhans Puntos 131

[Esta es una paráfrasis en JimmyK4542 elegante respuesta anterior]

Deje $$b=-5^{\frac 14}$$

A continuación, el largo de expresión bajo el signo de la raíz cuadrada se convierte en un arithmetico-serie geométrica: $$k=4+3b+2b^2+b^3$$ Multiplicando por $b$: $$\begin{align} b\cdot k&=\quad \qquad 4b+3b^2+2b^3+b^4\\ &=\quad \qquad 4b+3b^2+2b^3+5 \end{align}$$ Restando: $$\begin{align} (b-1)k&=1+b+b^2+b^3\\ &=\dfrac{b^4-1}{b-1}\\ &=\dfrac 4{b-1}\\ k&=\dfrac 4{(b-1)^2}\\ \sqrt{k}&=\dfrac 2{1-b}\\ \left( \dfrac 2{\sqrt{k}} -1\right)^4&={(-b)}^4=5 \end{align}$$

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