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La probabilidad de tener complejo de autovalor?

Deje $A$ ser un real $n \times n$ matriz con los coeficientes que se eligen al azar de una Distribución Uniforme en [-1,1]. ¿Cuál es la probabilidad de que Una tiene un complejo con autovalor no nulo parte imaginaria?

Si quieres saber la motivación, he estado haciendo la factorización QR y me doy cuenta de que el algoritmo parece que no, a veces, la producción de bloques a lo largo de la diagonal principal, pero cero en otro lugar. Aunque estoy seguro de que el fallo se encuentra con mi código, me puse los interesados en la cuestión. Apoyos a usted si usted puede generalizar a partir de una distribución Uniforme para cualquier distribución de probabilidad.

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Spencer Puntos 48

Deje $p_n$ ser la necesaria probabilidad. El caso de $n=2$ no es difícil cuando se $a,b,c,d$ seguir $U[-1,1]$. La probabilidad de que las raíces son reales es $p_2=\dfrac{1}{32}\int\int\int\int_{[-1,1]^4} signum((a-e)^2+4bc)+1\;\; da\; db\; dc\; de\approx 0.6805$. Sin embargo, vamos a ver que $p_n$ disminuye muy rápidamente al $n$ aumenta.

Esta pregunta es sobre el número de $N$ de las raíces reales de un polinomio real $\sum_{i=1}^na_ix^i$. Deje $E_n(N)$ ser el esperado número de raíces reales de un polinomio. En la siguiente referencia (de 1994)

http://www-math.mit.edu/~edelman/publicaciones/how_many_zeros.pdf

está demostrado que i) si el $(a_i)$ seguir $N(0,1)$, $E_n(N)\sim \dfrac{2}{\pi}\log(n)$

De hecho es un resultado de Kac y la misma la estimación de $E_n(N)$ funciona cuando el $(a_i)$ seguir $U[-1,1]$ (Kac) o siga $U\{-1,1\}$ (Erdos). Tenga en cuenta que las pruebas sobre la ley de $U[-1,1]$ es mucho más difícil que el relativo a la $N(0,1)$.

ii) si el $(a_i)$ seguir $N(0,\binom{n}{i})$,$E_n(N)\sim \sqrt{n}$.

Tenga en cuenta que cuando consideramos $A\in M_n(\mathbb{R})$, donde el $(a_{ij})$ seguir $N(0,1)$, el polinomio $\det(A-xI)$ cumple más bien la condición ii) que la condición i). De todos modos, $E_n(N)=o(n)$.

Ahora vamos a $V_n(N)$ de la varianza de la $N$ ; Maslova demostrado, en el caso i), la siguiente estimación de la varianza de $N$: $V_n(N)\sim \dfrac{4}{\pi}(1-2/\pi)\log(n)$. Por lo tanto, en caso de que yo), $\log(p_n)$ comporta un poco como $-\dfrac{n^2}{2}$. En el caso ii), y cuando consideramos el polinomio característico de una matriz aleatoria, uno tiene que encontrar resultados similares.

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