¿Cuál es el área de la región sombreada en este rectángulo?

Question

¿Cuál es el área de la región sombreada de abajo? Creo que la solución requiere restar el área de cada uno de los cuatro triángulos al área del rectángulo. Puedo calcular el área de los triángulos a y b ya que tengo una base y una altura. Pero no veo cómo calcular la altura de los triángulos c y d.

He probado a dibujar una línea paralela a los 3 cm de ancho del rectángulo que se cruza con el punto donde se tocan los triángulos c y d. La altura de esa línea (llámala h) a lo largo de los 4 cm de altura del rectángulo me daría la altura de ambos triángulos c y d. Pero no veo cómo derivar h.

Answer 1

Las alturas de $c$ y $d$ están en la proporción $1:3$ (igual a la relación de sus bases). Así que las alturas son $1$ y $3$ respectivamente.

La zona es $$3\times 4-\frac{1}{2}\times 1\times 4-\frac{1}{2}\times 1\times 4-\frac{1}{2}\times 1\times 1-\frac{1}{2}\times 3\times 3$$

Answer 2

Para cada uno de los triángulos sombreados, la longitud de un vertical La línea que va desde la esquina superior hasta que llega a la parte inferior es $2$ . El horizontal la distancia entre las otras dos esquinas es $\frac 32$ . Así que el área de cada triángulo sombreado es $\frac12\cdot 2\cdot \frac32$ .

Answer 3

A raíz de @CY Aries respuesta sobre la relación c y d. Podemos ver 2 triángulos (las arreas grises incluyendo el área d en cada uno).Así que encontramos el área de esos dos(4*3/2 *2) y restando el área d 2 veces (3*3) da como resultado 3

Answer 4

A continuación se presenta otro enfoque.

En el siguiente eje está el área de una de las regiones sombreadas.

El cuadrado total nos da:

$$Aa + Ab + Ac + Ad + 2\times Ax = 4\times 3$$

$$2 + 2 + \frac{1}{2}\times Hc + \frac{3}{2} \times Hd + 2\times Ax = 12$$

$$\frac{1}{2}\times Hc + \frac{3}{2} \times Hd + 2\times Ax = 8$$

El triángulo formado por a, c y una región de sombra nos da:

$$Aa + Ac + Ax = \frac{1}{2}\times 4\times 2$$

$$2 + \frac{1}{2}\times Hc + Ax = 4 $$

$$\frac{1}{2}\times Hc + Ax = 2 $$

La altura del cuadrado nos da:

$$Hc + Hd = 4$$

Ahora tenemos 3 ecuaciones con 3 incógnitas que son fáciles de resolver, es decir

$$\frac{1}{2}\times Hc + \frac{3}{2} \times Hd + 2\times Ax = 8$$

$$\frac{1}{2}\times Hc + Ax = 2 $$

$$Hc + Hd = 4$$

dará:

$$Hc = 1$$ $$Hd = 3$$ $$Ax = \frac{3}{2}$$