22 votos

Calcular el $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{{2k \choose k}}$

Calcular el $$\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{{2k \choose k}}$$

Yo uso el software para completar la serie es $\frac{2}{27} \left(18+\sqrt{3} \pi \right)$

No tengo ni idea sobre esto. :|

22voto

Ron Gordon Puntos 96158

Considere la función

$$f(x) = \frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}$$

$f(x)$ tiene un Maclurin expansión de la siguiente manera:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2 n}}{\displaystyle (2 n+1) \binom{2 n}{n}} x^{2 n+1}$$

La diferenciación, obtenemos

$$f'(x) = \frac{x \, \arcsin{x}}{(1-x^2)^{3/2}} + \frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2 n}}{\displaystyle \binom{2 n}{n}} x^{2 n}$$

Evaluar en $x=1/2$

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\displaystyle \binom{2 n}{n}} = \frac{\frac12 \arcsin{\frac12}}{3 \sqrt{3}/8} + \frac{4}{3} = \frac{2\sqrt{3} \pi+36}{27}$$

ANEXO

Hay muchas derivaciones aquí el resultado anterior para el Maclurin serie de $f(x)$; me refiero a este.

12voto

QuentinUK Puntos 116

Recordemos que la Beta de Euler integral

$$\beta(a, b) = \int_0^1 x^{a-1} (1-x)^{b-1} dx$$

y la fórmula de Euler para ello en términos de la función Gamma,

$$\beta(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$

En particular, desde la ${2n \choose n} = (2n!)/(n!)^2$, tenemos

$$\beta(n+1, n+1) = \frac{1}{(2n+1){2n \choose n}}.$$

Por lo tanto,

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n \choose n} = \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty {(2n+1) (x(1-x))^{n}} dx$$

y tenemos la serie de $\sum_{n\geq 0} (2n+1)y^n = (y+1)/(y-1)^2$. Por lo tanto,

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n \choose n} = \int_0^1 \frac{x(1-x)+1}{(x(1-x)-1)^2} dx$$

y por la rutina (integración de fracciones parciales, o su favorito método estándar), esto es igual a $\frac{2}{27}(18+\sqrt 3 \pi)$.

4voto

Pedro Tamaroff Puntos 73748

Este papel es muy relevante a su pregunta. En particular, $\bf Theorems \;\;3.4-5$ $\bf Theorem \;\;3.7$

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X