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¿Cómo empiezo a este problema?

encontrar todos los valores reales de a $x,y$ $z$ tal que

$x + y + z = 51$

y

$xyz=4000$

dado que

$z\geq 25$ $0<x\leq 10$

Creo que la única solución posible es$10, 16, 25$, pero no sé cómo probar esto. He intentando subbing de varias maneras pero no creo que eso ha ayudado. El mestizaje de las desigualdades y la igualdad es algo que yo no estoy familiarizado con, así que no sé cómo proceder. ¿Qué tipo de técnicas son necesarias?

Cualquier sugerencias para resolver esto se agradece, ya que todavía me gustaría intentar resolver yo mismo. Si no puedo resolverlo desde los voy a responder para más aclaración.

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zwim Puntos 91

La solución por Ahmad puede ser simplificado.

Sustituyendo $z=51-x-y\quad$ obtenemos $\quad xyz=xy(51-x-y)=51xy-x^2y-xy^2=4000$

$y^2+(x-51)y+\frac{4000}x=0\qquad$

Suponiendo que no son soluciones reales, entonces están dadas por $2y=51-x\pm\sqrt{\Delta}\\$ $\text{where }\Delta=(x-51)^2-\frac{16000}x$

Edit: de un lado el estudio muestra $\Delta<0$ al$0<x<1$, por lo que podemos suponer $x\ge 1$ a partir de ahora, era necesario para justificar la declaración de abajo (el último de la implicación).

La condición de que uno de la solución es mayor que $25$ implica:

$51-x\pm\sqrt{\Delta}\ge 50\implies \pm\sqrt{\Delta}\ge x-1\implies \Delta\ge (x-1)^2$

La sustitución el valor de $\Delta$ y el uso de $a^2-b^2$ identidad obtenemos:

$(-50)(2x-52)\ge \frac {16000}x\iff 26-x\ge \frac{160}x\iff x^2-26x-160=(x-10)(x-16)\le 0$

Que pasa cuando el $x\in[10,16]$.




Pero dado que el problema de los estados que $0<x\le 10$ $x=10$

Ahora $y^2+(x-51)y+\frac{4000}x=y^2-41y+400=(y-16)(y-25)=0$

Da el resto de soluciones de $y=16$$z=25$, y comprobamos que se comprueba el problema inicial.

Todos hemos tenido a partir de ahora, donde la mayoría de los "$\implies$" las declaraciones, pero es suficiente para comprobar que la solución es única.

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Ahmad Puntos 284

Desde $0<x \leq 10$ $z \geq25$ $y>0$ porque $x y z=4000$ y que puede sucede sólo si $y$ es un número positivo.

Ahora, a partir de la primera ecuación tenemos que $x=51-y-z$.

Sustituye en la segunda ecuación para obtener $(51-y-z)y z=4000$ la expansión de los soportes y de la solución para $z$ tenemos que $z=\frac{-y^2+51y-\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y}$ $z=\frac{-y^2+51y+\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y}$

Ahora tenemos que $z\geq 25$ $\frac{-y^2+51y+\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y}\geq 25$ o$\frac{-y^2+51y-\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y}\geq 25$

La parte $\frac{-y^2+51y-\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y} \geq 25$ no tienen ninguna solución para $y$ , dejar la raíz cuadrada de la parte de la izquierda y de todo el resto de la derecha podemos conseguir ese $\frac{-\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y} \geq -\frac{1}{2}+\frac{y}{2}$ obviamente el lado izquierdo es negativo, de modo que cuando el lado derecho es positivo falsos, y el lado derecho es positivo cuando se $-\frac{1}{2} +\frac{y}{2} >0$ o al $y>1$.

¿Qué acerca de la $0<y<1$ ?, así los términos dentro de la raíz cuadrada será negativo y por lo tanto no tiene ningún significado en el dominio Real,(dejo esto para probar, sugerencia : $0<y^4<y^3<y^2<y<1$ ).

Así que nos quedamos con $\frac{-y^2+51y+\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y} \geq 25$ o $\frac{+\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y} \geq -\frac{1}{2}+\frac{y}{2}$ e al $0<y<1$ el de la desigualdad, no tienen ningún significado en el dominio real de lo $y>1$ (la misma prueba anterior).

multiplicar por $2y$ y desde $y>0$ esto no cambia la desigualdad y tenemos que $\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y} \geq y^2-y$

plaza de los dos lados (ya que ambos son positivos) que no cambia la desigualdad para obtener $\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y\geq (y^2-y)^2$ la expansión de los soportes tenemos que $y^4-102 y^3+2601 y^2-16000 y\geq y^4-2 y^3+y^2 $ todos los términos a un lado tenemos que el $-100 y^3+2600 y^2-16000 y\geq 0$ o $-100y(160 - 26 y + y^2) \geq 0$ ∆ $y$ (ecuación cuadrática), llegamos a que $10\leq y \leq16$ o $y\leq 0$ (lo cual es falso, ya que $y>0$).

Ahora tenemos que asegurarnos de que $ 0<x =51-y-z \leq 10$

Por lo $51-y-\frac{-y^2+51y+\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y} \leq 10$ o $51-y-\frac{-y^2+51y-\sqrt{\left(y^2-51 y\right)^2-16000 y}}{2 y} \leq 10$

tomando el mismo enfoque como por encima de uno va a llegar a ese $16 \leq y \leq 25$ o $y \leq 0$ e (desde $y>0$ esto es falso ).

Así que al final, $y$ debe estar en el intervalo de $[10,16]$ $[16,25]$ y el único valor en ambos intervalos se $y=16$ y resolviendo $x,z$ da $x=10,z=25$.

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user84413 Puntos 16027

La solución para $y$ da $\displaystyle 51-x-z=\frac{4000}{xz}\;\;$, lo $\;51xz-x^2z-xz^2=4000\;$$0<x\le10$$z\ge25$.

Deje $f(x,z)=51xz-x^2z-xz^2$ sobre la región rectangular $0\le x\le10, \;25\le z\le51$ $\hspace{2 in}$(desde $z>51\implies y<0\implies xyz<0$);

vamos a mostrar que el $f$ tiene su valor máximo de $4000$ al $x=10, z=25$:

1) En el lado izquierdo, $g(z)=f(0,z)=0$$25\le z\le 51$.

2) En el lado derecho, $g(z)=f(10, z)=410z-10z^2$ es la disminución en el $[25,51]$, por lo que su máximo se produce a $\hspace{3.4 in}$al$x=10$$z=25$.

3) En la parte superior, $h(x)=f(x,51)=-51x^2$ tiene un valor máximo de 0.

4) En la parte inferior, $h(x)=f(x, 25)=25(26x-x^2)$ es el aumento en $[0,10]$, por lo que su máximo se produce a $\hspace{3.4 in}$al$x=10$$z=25$.

5) Resolución de $f_{x}=51z-2xz-z^2=0$ $f_{z}=51x-x^2-2xz=0$ da los puntos críticos de $\hspace{.12 in}(0,0), (51, 0), (0,51), (17, 17)$, y ninguno de estos puntos están en el interior de la región que está siendo considerado.

Por lo tanto, $f(10,25)=4000$ es el valor máximo de $f$ en la región de $0\le x\le 10, 25\le z\le 51$;

por lo $x=10, z=25$, e $y=16$ es la única solución.

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