¿Existen estructuras monoidales interesantes en representaciones de álgebras afines cuánticas?

Question

¿Existe una buena estructura monoidal en una categoría de representaciones integrables de un álgebra afín cuántica? En el caso afín ordinario de Kac-Moody, existe el producto tensorial habitual (simétrico, añade cargas) y una estructura de fusión (trenzada, proviene de paquetes G sobre curvas, preserva la carga central). En el caso cuántico, existe el producto tensorial habitual ( trenzado trenzado meromorfo $^\ast$ ), pero todo lo que veo en la literatura sobre la fusión son vagos comentarios de que no puede existir. Supongo que mi pregunta debería ser "¿cuál es la principal disfunción?".

$^\ast$ Editar: La propiedad meromórfica (en el sentido de Soibelman Categorías tensoriales meromórficas ) parece ser un primer indicio de problemas, y debería haberle prestado más atención.

Answer 1

Los polos de las matrices R para las álgebras afines cuánticas son el precio a pagar por la simplificación mencionada: el trenzado se vuelve simétrico bajo la deformación q. Si no hubiera polos, la categoría habría sido simétrica y, por tanto, sería una categoría de representación de un grupo (habitual). De hecho, los polos de las matrices R contienen gran parte de la información sobre la estructura de esta categoría.

Además, me gustaría añadir que hay un interesante artículo de Hernández, math/0504269, donde discute un nuevo producto tensorial de "fusión" sobre representaciones de álgebras afines cuánticas.

Answer 2

El producto de fusión para afín álgebras de Lie está estrechamente relacionado con la existencia de "evaluación homomorphisms" desde el bucle de álgebra a lo finito-dimensional semisimple Mentira álgebra g, que se separó de la inclusión natural de g como el subalgebra de la constante de bucles. En el quantum caso no hay ninguna evaluación mapa de la cuántica afín álgebra a la finitos de tipo cuántico álgebra fuera de tipo a (esto está demostrado - al menos para Yangians - en Drinfeld del original en papel estoy bastante seguro).

Ver las consecuencias de esto en un montón de lugares: por ejemplo, para las representaciones de g, la evaluación homomorphisms significa cualquier representación irreducible de g puede ser elevada a una irreductible representación de los afín Mentira álgebra de Lg. Por otro lado, las representaciones irreducibles de los grupos cuánticos no (necesariamente) eleva a las representaciones de quantum afín álgebras, y entonces uno se pregunta acerca de la "mínima affinizations" -- irreductible finito representaciones tridimensionales de la cuántica afín álgebra que el irreductible como un constituyente cuando se limita a la finitos de tipo cuántico grupo.

Dicho esto, el "ordinario" producto tensor para finitos representaciones tridimensionales de quantum afín álgebras es bastante interesante, no es trenzado más por ejemplo.