Explicar el concepto detrás de la solución de $\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0$, de Pablo de Matemáticas en Línea de Notas

Question

$$\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0$$

Se le pedirá que encontrar todas las soluciones posibles. Lo que inmediatamente me hizo fue traer a la $\cos(x)$ plazo y, a continuación, divide todo por $\cos(x)$ y, a continuación, se procedió a partir de allí:

$$\sin(x)\cos(x) = -\cos(x)$$

$$\sin(x) = -1$$

Ahora los estados en la solución que he mirado después de que esto está mal. Ahora sé, después de leer la solución que resultará en la pérdida de soluciones en mi última respuesta, pero no entiendo por qué. No creo que me estoy rompiendo las reglas por hacer lo que hizo antes, así que ¿por qué resultar en la pérdida de las soluciones. ¿Alguien puede decirme qué es lo que no estoy comprensión acerca de esta ecuación.

Gracias a una persona que ofrece ayuda de antemano!

Answer 1

Si $\cos(x) = 0$, entonces usted no puede dividir por $\cos(x)$. Por lo tanto, usted debe considerar por separado el caso en que $\cos(x) = 0$ y ver si eso es una solución válida. En este caso, lo es. Esa sería la solución sería que falta en su respuesta final.

Answer 2

Usted tiene que $$ (\sin x + 1)\cos x = 0. $$ Si $\cos x = 0$, por lo que no se puede dividir por $\cos x$. Utilizando el hecho de que si $ab = 0$ entonces $a$ o $b$$0$, $\sin x = -1$ o $\cos x = 0$. Si $\sin x = -1$$x = 3\pi/2 + 2k\pi$, y si $\cos x = 0$ $x = \pi/2+\ell\pi$ integral de los valores de $k$$\ell$.

Answer 3

Déjeme mostrarle la prueba correspondiente. Vamos a empezar con algunas de número de $a$ y establezca $b=a$.

$$a = b$$

Multiplicar por $a$

$$a^2=ab$$

Restar $b^2$

$$a^2-b^2 = ab-b^2$$

Factor de ambos lados

$$(a+b)(a-b)=b(a-b)$$

Dividir un factor común

$$a+b = b$$

Sustituto $b$ $a$ (ya que son iguales)

$$b+b=b$$

Dividir por $b$

$$1+1=1$$

Para ayudar a ver lo que salió mal, enchufe en un valor específico: si asumimos que las variables se $5$, entonces mis pasos se vuelven $5=5$, $25=25$, $25-25 = 25-25$, $(5+5)(0) = 5(0)$, $5+5=5$, $1+1=1$.

Así que en un solo paso aquí me dividido por $0$, y eso es exactamente donde mi igualdades empezar a ser malo. Si se divide por cero, las cosas pueden ir muy, muy mal. En mi caso, llegué a la conclusión de que $1+1=1$. Así que cada vez que se dividen (o cancelar) cosas mientras se hace el álgebra, usted tiene que comprobar que no es cero.

Answer 4

El conflicto es debido a que,(como a encontrar) $$ el pecado(x)=-1 $$ para todos los valores posibles de x, $cos(x)$ conducir a $0$ y, por tanto, el paso previo hecho por el que está mal. Para evitar este conflicto debe tomar todos los casos, $$ (sin(x)+1)cos(x)=0 $$

Answer 5

Me gustaría utilizar este $$ (\sin(x)+1)\cdot \cos(x)=0\etiqueta{1} $$ y, a continuación, separar el problema en dos pequeños problemas - desde $a \cdot b = 0$ es "especial". $$ ...=0\quad \text{o}\quad ...=0\etiqueta{2} $$ (Si una de estas partes de la ecuación es $0$, entonces la ecuación completa se $0$. Llene los espacios en blanco). Después de un total de $3$ cambios en las ecuaciones que se han $$ x=...\quad \text{o}\quad x=...\etiqueta{3} $$ Usted podría necesitar el uso de libros y/o tablas para resolver las ecuaciones para obtener dos conjuntos de soluciones. (Recuerde que el pecado y la cos que se repita todos los $2\pi$ !) Después de que usted puede combinar estos dos juegos en un solo conjunto (y eliminar imposible soluciones si es necesario).

[Supongo que se puede escribir la solución como $x' + k\cdot\pi$. Pero no estoy seguro de eso. Así que usted debe comprobar que a ti mismo.]