Deje $p$ ser el número primo más grande que $2$. Demostrar que $\dfrac{2^p-2}{p}\equiv 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dots-\dfrac{1}{p-1} \pmod p$
No sé por dónde empezar ni siquiera
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Oli
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89
La cosa razonable para probar que funciona. Calcular el $2^p-2$ usando el Teorema del Binomio.
El primer término es $p$. La división por $p$ da $1$. Buen comienzo!
Ahora mira a $\binom{p}{2}$. Dividir por $p$. Llegamos $\frac{p-1}{1\cdot 2}$, lo cual es congruente a $-\frac{1}{2}$ modulo $p$. (Estamos tomando el recíproco modulo $p$.)
Vamos a ver si tres veces de la suerte. Cuando dividimos $\binom{p}{3}$$p$, obtenemos $\frac{(p-1)(p-2)}{1\cdot 2\cdot 3}$, lo cual es congruente a $\frac{1}{3}$ modulo $p$.
El resto se hace exactamente de la misma manera. En general, cuando dividimos $\binom{p}{k}$ $p$ $k$ en nuestra gama, obtenemos $$\frac{(p-1)(p-2)\cdots(p-(k-1))}{k!}.$$ La parte superior es congruente a $(-1)^{k-1}(k-1)!$, y ahora la división por $k!$ modulo $p$ lo hace.
