Si $x+y+z=0$, demuestran que, a $\frac{x^2}{2x^2+yz}+\frac{y^2}{2y^2+zx}+\frac{z^2}{2z^2+xy}=1$

Question

Un problema en mi tarea me había preguntado:

Al $x+y+z=0$, evaluar$$\frac{x^2}{2x^2+yz}+\frac{y^2}{2y^2+zx}+\frac{z^2}{2z^2+xy}$$

Sin demasiada dificultad, uno puede ver que el valor debería ser$1$$(x,y,z)=(1,0,-1)$.

Decidí usar $x=-y-z$, lo que resultó no ser tan difícil como pensaba inicialmente. Sin embargo, alguien en atención a iluminar a otros métodos de hacer esto?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$2x^2+yz=2(y+z)^2+yz=(2y+z)(y+2z)$$

Ahora $2y+z=x+y+z+y-x=y-x$

Answer 2

El primer término es $$\frac{x^2}{2x^2-xy-y^2}=\frac{x^2}{(2x+y)(x-y)}=\frac{x^2}{(x-z)(x-y)}$$

Hacer la misma transformación en cada una de las fracciones y sumarlos.

Así que toda la expresión es $$\frac{x^2}{(x-z)(x-y)}+\frac{y^2}{(y-z)(y-x)}+\frac{z^2}{(z-y)(z-x)}=...=1$$