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¿cuál es la diferencia entre un anillo y un campo de

El anillo de los axiomas requieren que la suma es conmutativa, la adición y la multiplicación son asociativa de la multiplicación distribuye sobre la suma.

Un campo puede ser pensado como dos grupos con extra de la distributividad de la ley.

Un anillo es más complejo : con abelian grupo y un semigroup con extra de la distributividad de la ley

Es el anillo más básico o de campo más básico, ¿cuál es la relación entre ellos? ¿cuál es el trasfondo de por qué la gente de estudio?

63voto

Lorin Hochstein Puntos 11816

Un anillo es una ordenó triple, $(R,+,\times)$ donde $R$ es un conjunto, $+\colon R\times R\to R$ $\times\colon R\times R\to R$ son operaciones binarias (normalmente escrito en la revisión de la notación) tal que:

  1. $+$ es asociativa.
  2. Existe $0\in R$ tal que $0+a=a+0=a$ todos los $a\in R$.
  3. Para cada $a\in R$ existe $b\in R$ tal que $a+b=b+a=0$.
  4. $+$ es conmutativa.
  5. $\times$ es asociativa.
  6. $\times$ distribuye más de $+$ de la izquierda: para todos los $a,b,c\in R$, $a\times(b+c) = (a\times b)+(a\times c)$.
  7. $\times$ distribuye más de $+$ de la derecha: para todos los $a,b,c\in R$, $(b+c)\times a = (b\times a)+(c\times a)$.

1-4 nos dicen que $(R,+)$ es un grupo abelian. 5 nos dice que $(R,\times)$ es un semigroup. 6 y 7 son las dos leyes distributiva que usted menciona.

También tenemos los siguientes elementos:

una. Existe $1\in R$ tal que $1\times a = a\times 1 = a$ todos los $a\in R$.

b. $1\neq 0$.

c. Para cada $a\in R$, $a\neq 0$, existe $b\in R$ tal que $a\times b = b\times a = 1$.

d. $\times$ es conmutativa.

Un anillo que satisface (1)-(7)+(a) se dice que es un "anillo con unidad". Claramente, cada anillo con unidad es también un anillo; se necesita "más" para ser un anillo con unidad, que ser un anillo.

Un anillo que satisface (1)-(7)+(a,b,c) se dice que es un anillo de división. De nuevo, eveyr división de anillo es un anillo, y que se necesita "más" para ser un anillo de división, que ser un anillo. (5)+(a)+(b)+(c) nos dicen que $(R-\{0\},\times)$ es un grupo (tenga en cuenta que necesitamos remover $0$ debido a (c) especifica un valor distinto de cero, y tenemos (b) para asegurar que se quedan con algo).

Un anillo que satisface (1)-(7)+(a,b,c,d) es un campo. De nuevo, cada campo es un anillo.

En efecto, tenemos que $(R,+)$ es un grupo abelian, que $(R-\{0\},\times)$ es un grupo abelian, y que estas estructuras "de malla juntos" a través de (6) y (7). En un anillo, tenemos que $(R,+)$ es un grupo abelian, que $(R,\times)$ es un semigroup (o mejor aún, un semigroup con $0$), y que las dos estructuras de "malla".

Tenemos que cada campo es un anillo de división, pero hay división de los anillos que no son campos (por ejemplo, los cuaterniones); cada división anillo es un anillo con unidad, pero hay anillos con unidad, no división de los anillos (por ejemplo, los enteros si desea conmutatividad, la $n\times n$ matrices con coeficientes en, digamos, $\mathbb{R}$, $n\gt 1$, si desea noncommutativity); cada anillo con unidad es un anillo, pero hay anillos que no son anillos con unidad (estrictamente triangular superior $3\times 3$ matrices con coeficientes en $\mathbb{R}$, por ejemplo). Así $$\text{Fields}\subsetneq \text{Division rings}\subsetneq \text{Rings with unity} \subsetneq \text{Rings}$$ y $$\text{Fields}\subsetneq \text{Commutative rings with unity}\subsetneq \text{Commutative rings}\subsetneq \text{Rings}.$$

32voto

Gudmundur Orn Puntos 853

Hay toda una gama de estructuras algebraicas. Tal vez los 5 mejores conocidos son semigroups, monoids, grupos, anillos y campos.

  • Un semigroup es un conjunto cerrado, asociativa, operación binaria.
  • Un monoid es un semigroup con un elemento de identidad.
  • Un grupo es un monoid con la inversa de los elementos.
  • Un grupo abelian es un grupo donde la operación binaria es conmutativa.
  • Un anillo es un abelian grupo (por adición, por ejemplo) que pasa a tener una segunda cerrada, asociativa, operación binaria así. Y estas dos operaciones de satisfacer un derecho de la distribución. (Usted puede o no puede requerir que los anillos de tener una identidad con la segunda operación)
  • Un campo es un anillo donde tanto las operaciones de transporte, donde cada elemento tiene un aditivo (es decir, la primera operación) y multiplicativos (es decir, la segunda operación) inversa (y por lo tanto no es una identidad multiplicativa), y el requisito adicional de que si $xy = 0$ algunos $x \not = 0$, entonces tenemos que tener en $y = 0$ (llamamos a esto de no tener cero divisores).

Las personas de estudio de estos, y mapas entre ellos, porque es impresionante cómo a menudo las cosas puede ser dado a un grupo o anillo-como la estructura. Para saber cómo estas cosas se comportan lleva un montón de información acerca de muchas cosas.

8voto

Un campo tiene inversos multiplicativos, los anillos no es necesario tener que - Sólo aditivo. Los anillos son de la más básica de objetos. ${Fields}\subset {Rings}$

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