En un triángulo rectángulo, puede $a+b=c?$

Question

Entiendo que debido a que el Teorema de Pitágoras, $a^2+b^2=c^2$, dado que el $a$ $b$ son catetos de un triángulo rectángulo y $c$ es la hipotenusa de un mismo triángulo rectángulo. Sin embargo, la mayoría de las veces, $a+b\neq c$. Lo que me pregunto es, ¿hay algún conjunto de valores para $a$, $b$, y $c$ que hacer la declaración de la $a+b=c$ verdad?

Answer 1

(Adición: Como se señaló como también otras personas, esto debe resaltar que su pregunta tiene poco que ver con los triángulos rectángulos, como de hecho esta es una propiedad de los triángulos en general)

Answer 2

Tu pregunta no tiene nada que ver con los triángulos rectángulos. Si $c=a+b$ en cualquier triángulo, entonces el vértice $C$, debe recaer en el segmento de $AB$, y esto se llama un "degenerado" triángulo.

Answer 3

Desde el teorema de pitágoras, $a^2+b^2=c^2$.

Supongamos $a+b=c$, luego

$$ a^2+b^2=(c)^2\iff a^2+b^2=(a+b)^2 $$

Se puede tomar desde aquí?

Answer 4

Sustituyendo $c = a + b$ a $a^2+b^2=c^2$ nos da $a^2+b^2=(a+b)^2$. La multiplicación de que nos da $a^2+b^2=a^2+2ab+b^2$, lo que significa $2ab=0$

Así que, para satisfacer tanto $c = a + b$ $a^2+b^2=c^2$ $a=0$ o $b=0$.

La pregunta entonces se convierte en un poco más filosófico. Tenemos un resultado que satisfaga pythagarous ecuación, pero ¿realmente podemos considerar que es un triángulo de ángulo recto? Es un "lado" de longitud cero realmente de un lado a todos?

Answer 5

Hay otra manera formalmente responder a esta pregunta, a saber, mediante el coseno de la ley.

Para cualquier triángulo, es cierto que $a^2+b^2-2ab\cos\gamma = c^2$ donde $\gamma$ es el ángulo entre la $a$ $b$ lados. Por otro lado, si $c=a+b$$c^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, lo que

$$a^2+2ab+b^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma,$$

que sólo es posible si $\cos\gamma=-1$ o $\gamma=\pi$, es decir, de 180 grados, o si cualquiera de las $a$ o $b$ es cero. De cualquier manera, este es un degenerado triángulo, como se mencionó en Alex M de la respuesta.