6 votos

¿Cuál es el valor de $\sin 1 ^\circ \sin3^\circ\sin5^\circ \sin 7^\circ \sin 9^\circ \cdots \sin 179^\circ $ ?

¿Cuál es el valor de
$\sin 1 ^\circ \sin3^\circ\sin5^\circ \sin 7^\circ \sin 9^\circ \cdots \sin 179^\circ $ ?

La pregunta es intrigante. Podríamos empezar por condensarla utilizando $\sin \theta = \sin (180-\theta)$ Esto reduce el problema, ya que los productos hasta $89^\circ$ . Pero eso no ayuda a proceder.

Gracias por adelantado.

1 votos

Probablemente te refieres a $180°$ ?

2 votos

¿Son signos de grado o exponentes?

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7voto

lhf Puntos 83572

Como se menciona en un comentario de Hans Lundmark en esta pregunta tenemos $$ \sin nx=2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \sin\left( x + \frac{k\pi}{n} \right) $$ El producto que queremos es $$ \prod_{k=0}^{89} \sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{180} \right) = \prod_{k=0}^{90-1} \sin\left(\frac{\pi}{180} + \frac{k\pi}{90} \right) = \frac{\sin\left(90\frac{\pi}{180}\right)}{2^{90-1}} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2^{89}} = \frac{1}{2^{89}} $$

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+1 Gracias por la respuesta. Yo diría que usar esa primera ecuación me pone la piel de gallina. No estoy acostumbrado a usar esa ecuación :P

1 votos

@SmarthBansal, todos aprendemos algo cada día. Hoy he aprendido esa ecuación investigando tu pregunta. Esa es la diversión de MSE.

7voto

Doug M Puntos 51

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El producto de las cuerdas de esta figura es

$(2\cos \frac {2\pi}{5})(2\cos \frac {\pi}{5})(2\cos 0)(2 \cos -\frac {\pi}{5})(2\cos -\frac {2\pi}{5}) = 2^5\prod_\limits {n=-2}^2 \cos \frac {n\pi}{5}$

Si trasladamos esta figura al plano complejo el producto de esas longitudes = $|(1+e^{\frac {\pi i}{5}})(1+e^{\frac {3\pi i}{5}})(1+e^{\frac {5\pi i}{5}})(1+e^{\frac {7\pi i}{5}})(1+e^{\frac {7\pi i}{5}})|$

Nota: $(z+e^{\frac {\pi i}{5}})(z+e^{\frac {3\pi i}{5}})(z+e^{\frac {5\pi i}{5}})(z+e^{\frac {7\pi i}{5}})(z+e^{\frac {7\pi i}{5}}) = z^5 + 1$

Evaluado en $z= 1$

$2^5\prod_\limits {n=-2}^2 \cos \frac {n\pi}{5} = 2\\ \prod_\limits {n=-2}^2 \cos \frac {n\pi}{5} = 2^{-4}$

Y esto se generaliza:

$\prod_\limits {n=1}^k \cos \frac {(2n-1)\pi}{2k} = 2^{-(k-1)}$

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+1 ¡Gracias por la respuesta! No entiendo cómo se mapean en el plano complejo (¿cómo se sabe, por ejemplo, que la segunda cuerda es $1+ e^{3\pi i /5}$ ?) (Sry nuevo en este tipo)

0 votos

Las "raíces de la unidad". es.wikipedia.org/wiki/Raíz_de_la_unidad Se cae del teorema de DeMoivre. si $z = \rho (\cos \theta + i\sin \theta) =\rho e^{i\theta}$ entonces $z^n = \rho^n (\cos n\theta + i\sin n\theta) =\rho^n e^{i n\theta}$ trabajando hacia atrás si $z^n = -1$ podemos retroceder hasta los posibles valores de $\theta$

6voto

Daniel Schepler Puntos 156

Utilicemos $\sin(1^\circ) = \sin(179^\circ) = \cos(89^\circ)$ etc., para reescribir el producto como $$\prod_{i=1}^{45} \cos^2 \left( \frac{\pi}{180} (2i - 1) \right).$$

Ahora, $\pm \cos \left( \frac{\pi}{180} (2i-1) \right)$ para $i = 1, \ldots, 45$ son raíces del polinomio $P_{180}(x) + 1$ donde $P_n$ es el polinomio de Chebyshev tal que $P_n(\cos \theta) = \cos (n\theta)$ . De hecho, desde $-1$ es el valor mínimo posible de $P_n(x)$ para $-1 \le x \le 1$ son todas raíces dobles, lo que explica las 180 raíces del polinomio. Por otro lado, $P_{180}(x)$ tiene la forma $2^{179} x^{180} + \cdots + 1$ Así que $P_{180}(x) + 1$ tiene la forma $2^{179} x^{180} + \cdots + 2$ . Por lo tanto, el cuadrado del producto anterior es igual al producto de raíces de este polinomio, que es $\frac{2}{2^{179}} = 2^{-178}$ y el producto original deseado es $2^{-89}$ .

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+1 Gracias por contestar. Le echaré un vistazo.

1voto

DURGESH TIWARI Puntos 47

Tenemos que calcular $$\prod^{45}_{k=1}\sin^2((2k-1)^\circ)$$

Porque $\sin(180-\theta)=\sin(\theta)$

Ahora $$P=\prod^{45}_{k=1}\sin((2k-1)^\circ)$$

Entonces $$\prod^{45}_{k=1}\sin(2k^\circ)\cdot P=\prod^{45}_{k=1}\sin((2k-1)^\circ)\cdot \prod^{45}_{k=1}\sin(2k^\circ)$$

Así que $$\prod^{45}_{k=1}\sin(2k^\circ)\cdot P=\frac{1}{2^{44}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \prod^{45}_{k=1}\sin(2k^\circ)$$

Así obtenemos $$P=\frac{1}{2^{\frac{89}{2}}}$$

Así que $$\prod^{45}_{k=1}\sin^2((2k-1)^\circ)=\frac{1}{2^{89}}$$

0 votos

+1 ¡Gracias por la respuesta! ¿Cómo conseguiste el antepenúltimo paso a partir del penúltimo?

4 votos

-1 Esta respuesta no contiene absolutamente nada... En uno de los pasos usted parece asumir que ya sabemos $\prod \sin((2k-1)^\circ)$ para calcular $P = \prod \sin((2k-1)^\circ)$ ? Asumes que sabes la respuesta para obtener la respuesta

-4voto

poetasis Puntos 59

Si de verdad quieres saberlo, introduce datos en Excel. A1=SIN(RADIANS(ROW())) y rellena hasta A179. Luego B1=A1 y B2=B1*A2 y rellena hasta B179. Excel muestra 0.000000000000000000000000000001 (1e-30) en B146 y va a cero después de eso. La precisión arbitraria podría darte más pero ese es el límite de Excel.

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