Evaluar $\lim_{n\to\infty} \frac {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}{n^k}$ , $k\in\mathbb{Z}_+^*.$
Lo que he probado hasta ahora:
He reescrito:
$$\lim_{n\to\infty} \frac {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}{n^k}=\frac 1{k!}\lim_{n\to\infty}\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}=L$$
La aplicación de $\ln$ a ambos lados obtenemos:
$$\lim_{n\to\infty}\ln(\frac 1{k!})+\sum_{i=1}^{k-1}\ln(\frac{\displaystyle n-i}{\displaystyle n^k}).$$
Y pensé que tal vez podría conseguir un riemann en algún lugar, pero no me lleve a nada...
EDITAR:
Solucionado con Surb la sugerencia de que el producto de que el límite es el de los límites del producto:
obtenemos:
$$\frac 1{k!}\lim_{n\to\infty}\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}=\frac {1}{k!}\lim_{n\to\infty}\frac {n}{n}\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n}....\lim_{n\to\infty}\frac{n-k+1}{n}=\frac 1{k!}.$$