5 votos

Calcular $\lim_{n\to\infty} \frac {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}{n^k}$.

Evaluar $\lim_{n\to\infty} \frac {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}{n^k}$ , $k\in\mathbb{Z}_+^*.$

Lo que he probado hasta ahora:

He reescrito:

$$\lim_{n\to\infty} \frac {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}{n^k}=\frac 1{k!}\lim_{n\to\infty}\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}=L$$

La aplicación de $\ln$ a ambos lados obtenemos:

$$\lim_{n\to\infty}\ln(\frac 1{k!})+\sum_{i=1}^{k-1}\ln(\frac{\displaystyle n-i}{\displaystyle n^k}).$$

Y pensé que tal vez podría conseguir un riemann en algún lugar, pero no me lleve a nada...

EDITAR:

Solucionado con Surb la sugerencia de que el producto de que el límite es el de los límites del producto:

obtenemos:

$$\frac 1{k!}\lim_{n\to\infty}\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}=\frac {1}{k!}\lim_{n\to\infty}\frac {n}{n}\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n}....\lim_{n\to\infty}\frac{n-k+1}{n}=\frac 1{k!}.$$

2voto

Surb Puntos 18399

Sugerencia

El producto no depende de la $n$. El límite del producto es por lo tanto el producto de los límites.

1voto

gimusi Puntos 1255

Mediante la prueba de razón de

$$\frac {\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}}{(n+1)^k}\frac {n^k} {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^k\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}\frac{k!(n-k)!}{n!}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^k\frac{n+1}{n+1-k}\to 1$$

así que no es concluyente.

Tenga en cuenta que por el coeficiente binomial aproximación

$${n \choose k} \sim \frac{n^k}{k!}$$

entonces

$$ \frac {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}{n^k}\sim \frac1 {k!} $$

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