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Si cada matriz que representa a $T$ contiene un $0$, $T$ es un escalar

Deje $V$ ser finito-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb F$ ($\text{char}\ \mathbb F =0$) y $T$ es una transformación lineal tal que para cualquier base a la matriz de la transformación lineal tiene al menos un cero.

Quiero mostrar que existe $c\in \mathbb F$ $\,$tal que $T(x)=cx$ cualquier $x \in V.$

Alguna sugerencia?

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Matthew Scouten Puntos2518

Es cierto, no trabajo en general. Sobre el campo $GF(2)$, la única matriz con cero entradas es todo lo $1$'s, y hay un montón de $n \times n$ matrices que no sean similares a esta, además de a$0$$I$.

EDIT: con la condición añadida $\text{char } {\mathbb F} = 0$, funciona. Deje $u$ ser un vector tal que $u$ $Tu$ son linealmente independientes. Hay una base $b_1, b_2, \ldots, b_n$$b_1 = u$$b_2 = Tu$. Deje $B$ ser la matriz con estos vectores de la base en forma de columnas, por lo $(B^{-1} T B)_{2,1} \ne 0$. Considere la posibilidad de $C = \sum_{P} c_P B P$ donde la suma es sobre todos los $n \times n$ permutación de matrices y $c_P$ son indeterminates. $\det(C)$ es un polinomio en la $c_P$, y no de forma idéntica $0$ (tenga en cuenta que $\det(C) = \pm \det(B) \ne 0$ si cualquiera de las $c_P$ $1$ y el resto se $0$). Del mismo modo, cualquier elemento de la matriz de $(\text{Adj}(C) T C)_{ij}$ (donde $\text{Adj}$ es la adjunta clásica o adjuntos de la matriz) es un polinomio en la $c_P$, y no de forma idéntica $0$: si tenemos una particular $c_P$ de permutación $\pi$$1$, y la de los demás $0$, $(\text{Adj}(C) T C)_{ij} = \det(BP) (P^{-1} B^{-1} T B P)_{ij}$, y si $\pi(j) = 1$ $\pi(i)=2$ esto es $\det(BP)$. Por lo tanto habrá algún conjunto de racional de los valores de la $c_P$ para que todos los los polinomios son cero, y las columnas de la correspondiente $C$ son una base en la que todos los elementos de la matriz de $T$ son cero.

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