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¿Cuál es la motivación detrás del estudio de las secuencias?

Yo estaba discutiendo algunas ideas con mi profesor y él siempre dice que antes de trabajar en algo en matemáticas, usted necesita saber la motivación para estudiar/trabajar en él. Una mejor manera de poner esto sería,

¿Por qué fueron las secuencias estudiadas y buscado?

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Ant Puntos 10516

Yo no creo que es que clara. La motivación es importante (que no quiere trabajar sobre un tema que a nadie le importa) pero a veces las motivaciones es justo que (un considerable número de personas se encuentra muy interesante!

Por supuesto, usted tiene más posibilidades de encontrar gente interesada si el tema "salta" en varios problemas, por lo que la gente piensa que vale la pena estudiarlo

De todos modos, creo que las secuencias son muy interesantes en su propio derecho. Por ejemplo, una muy natural la pregunta es "¿Cuál es la suma de los primeros a $n$ números naturales? Qué pasa con la primera $n$ plazas? " después de encontrar la respuesta para que uno, uno empieza a pensar "hey ¿qué pasa si $n \to \infty$?" lo que va a suceder?

Las secuencias son de una manera muy natural generalización de finito de sumas de dinero ;-) y los resultados como $$ \sum \frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6$$ sin duda el "encanto" del tema

Si usted realmente quiere encontrar una más "práctico" de la motivación, las secuencias de pop-up todo el tiempo en la física, probabilidad, etc. El ejemplo más famoso es probablemente el de la paradoja de Zenón, donde la distancia entre Aquiles y la tortuga es siempre reducir a la mitad. Zeno conclusión de que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga, pero él había estudiado secuencias él habría reconocido que $$\sum \frac 1{2^n} = 2\neq \infty$$

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Elie Puntos 7628

A veces con una secuencia de objetos simples que usted puede aproximado de un objeto que es complicado.

La secuencia de $\{x_n:n\ge1\}$ definido por $x_1=1$ y $$ x_{n+1}=\frac12\Bigl(x_n+\frac2{x_n}\Bigr) $$ converge a $\sqrt 2$ $n\to\infty$ (ver aquí). Así que tenemos una secuencia de números racionales que converge a un número irracional.

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Yves Daoust Puntos 30126

Las relaciones entre causas y efectos es un tema central en todas las ramas de la ciencia. En cuantitativa, matemáticas, es encarnada por el concepto de una función. Por ejemplo, usted podría estar interesado por la relación entre la longitud de una barra de hierro y la temperatura, $L=f(T)$.

Un interesante caso especial de las funciones son aquellos que tienen el conjunto de los números naturales, $\mathbb N$, como de su dominio. Tales funciones son las secuencias. Dependiendo de las situaciones, el argumento de $n$ puede ser visto como el tiempo de los eventos, como el índice de una iteración, como una serie de pasos a partir de un estado inicial, o cualquier cosa que se pueden enumerar en un "uniforme". Corresponden al universo de fenómenos discretos frente a la continua. (Como la cantidad de $CO_2$ en la atmósfera como una función de la fecha).

El estudio de las secuencias permite dibujar propiedades generales, como "podemos comparar dos secuencias ?", y se centra en las preguntas en torno a infinito: "¿qué podemos decir acerca de la tendencia de una secuencia dada, cuando dejamos que el argumento de crecer para siempre ?"

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Sebastien Puntos 564

Yo creo que uno de lo más interesante acerca de las secuencias es que las secuencias son "fácil" de manejar.

En primer lugar, cuando el modelado de algo, de una recurrencia de la relación a menudo surgen. Cuando usted tiene esta relación, se puede calcular (a mano o con ordenador) todos los términos que usted quiere.

Pero en muchos de los casos, el fenómeno es continua (por ejemplo, el movimiento físico), por lo tanto la forma más adecuada para el modelo que es (real) de las funciones. Sin embargo, es difícil lidiar con las funciones de $\mathbb R \to \mathbb R$. Así que discretizar el problema utilizando secuencias (por ejemplo, método de Euler para resolver ODE).

Es el mismo de una forma más abstracta punto de vista: cuando estás haciendo algún topología, los espacios pueden ser muy, muy difícil de manejar. Por ejemplo, el conjunto de las funciones continuas sobre $[0,1]$: aquí, manipular secuencias de funciones es más fácil que trabajar con grandes (no contables) de paquete de funciones.

Así que tratamos de convertir a las propiedades relativas a "abrir sets", "compactness", etc. en las propiedades relativas a secuencias tanto como nos sea posible: por ejemplo, en un espacio métrico, un conjunto $A$ es cerrado iff cada sucesión convergente converge en $A$ (que a menudo es más sencillo de usar que "$A$ es cerrado si su complementario es abierto").

Por eso es importante ser fluido con secuencias! Si no, va a ser difícil de entender bien más resúmenes de conceptos (desde los conceptos de uso de secuencias de mucho).

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txmail Puntos 100

De la Paradoja de zenón.

Zeno señaló que antes de viajar a un lugar, primero debe viajar a mitad de camino al lugar, a continuación, a partir de ahí viajar a la mitad el resto del camino, etc. Él razonó que el movimiento es imposible, porque no puede viajar un número infinito de pasos en un tiempo finito.

En el lenguaje de secuencias, los números correspondientes a los de la paradoja de Zenón son: $1/2$, $3/4$, $7/8$, etc. Su declaración final es, en efecto, que esta serie infinita que es estrictamente creciente no convergen a un límite finito.

Estudio de secuencias ha demostrado que esta última afirmación es manifiestamente falso. Es perfectamente posible tener una secuencia infinita de números crecientes que converge a un valor finito. Incluso hemos determinado los métodos de prueba de que las secuencias de hacer convergen y cuáles son sus valores finales.

A partir de ahí, tenemos muchos otros usos prácticos de las secuencias, como la de determinar los valores de $\pi$ o $e$ a tanto la precisión es necesaria para aplicaciones específicas.

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