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Cómo tomar la derivada de esta extraña alternativa a un diablo resbaladiza escalera?

Estoy tratando de construir una función de $f(x)$ que

  1. ha derivado = $0$ en casi todas partes, y
  2. es estrictamente creciente.

Me doy cuenta de que uno puede hacer esta jugando con el Cantor de la función, pero me gustaría hacerlo directamente. Sin embargo, estoy teniendo dificultad para ver si el bello monstruo tiene una derivada en todos!

Deje $(a_k)$ ser una secuencia de números, de tal manera que $\sum |a_k| < \infty$, e $a_k > 0$. Definir un orden en $q_k \in \mathbb{Q}$, lo que uno puede hacer, porque las $\mathbb{Q}$ es contable y totalmente ordenado.

Definir $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $$f(x) = \sum\limits_{\{k \text{ : } q_k < x\}} a_k$$

Vemos que $f_k$ es estrictamente creciente (por lo tanto es tanto el aumento y no constante en cualquier intervalo abierto), para $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$, y cualquier intervalo abierto en $\mathbb{R}$ contiene un elemento de $\mathbb{Q}$.

Yo creo que esta función tiene derivada cero en todos los $\mathbb{Q}$, los cuales son totalmente desconectado y contables, y un discontinuo de la unión de countably muchos puntos ha Lesbegue medida de 0.

El problema es que no sé cómo rigurosamente muestran que $|f'| = 0$.e., de hecho, no sé cómo comprobar que $f$ es diferenciable. No sé cómo, para ver que esto $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{ x - x_0}$$

tiene límite de $0$ $S \subset \mathbb{R}$ de manera tal que el Lesbegue medida de $\{ \mathbb{R} - S \}$$0$.

Aquí está mi pregunta: ¿Cómo debo tomar la derivada de esta función? Realiza esta función de satisfacer el criterio deseado?

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