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La teoría de Galois no convencional en Qual

Esto parece ser una rara la pregunta que uno puede ver, en la Qual Álgebra de exámenes, y no creo que si es una sabia elección para poner este tipo de preguntas en lo Qual. Considero que es un duro de la teoría de Galois pregunta, aunque!

Deje $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ser un polinomio de grado $7$ y deje $E$ ser la división de campo de la $f$ $\mathbb{Q}.$ Asume que $\text{Gal}(E/\mathbb{Q}) \cong S_7.$

a) Encontrar el número de intermedios campos $K$ $\mathbb{Q}$ y $E$ tal que $[E:K]=9.$

b) Demostrar que la intersección de todos los campos de $K$ en la parte a) no es igual a $\mathbb{Q}.$

c) Si $\alpha \in E$ es una raíz de $f(x),$ cómo muchos de los intermedios los campos en la parte a) contener $\alpha?$

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