Encontrar el límite o demostrar que no existe $\lim_{(x, \space y) \to (0, \space 0)} f(x, y) $ donde $f(x, y) = \frac{x^5-y^5}{x^4-2x^2y^2+y^4}$

Question

Encontrar el límite o demostrar que no existe $$\lim_{(x, \space y) \to (0, \space 0)} f(x, y) $$ donde $$f(x, y) = \frac{x^5-y^5}{x^4-2x^2y^2+y^4}$$

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Límite iterado $\displaystyle{\lim_{y \to 0}} \space \displaystyle{\lim_{x \to 0}} \space f(x, y) = \displaystyle{\lim_{x \to 0}} \space \displaystyle{\lim_{y \to 0}} \space f(x, y) = 0$ pero eso no significa que $\displaystyle{\lim_{(x, \space y) \to (0, \space 0)}} f(x, y) = 0 $ .

También he probado la sustitución $x = r \cdot \cos \phi, \space y = r \cdot \sin \phi$ que me dio $ \frac{r(\cos^5\phi - \sin^5\phi)}{(\cos^2\phi-\sin^2\phi)^2} $ . Si $x \to 0$ y $y \to 0$ entonces $r \to 0$ . Así que, $\displaystyle{\lim_{r \to 0}} \space \frac{r(\cos^5\phi - \sin^5\phi)}{(\cos^2\phi-\sin^2\phi)^2} = 0$ .

Pero tengo la sensación de que el límite original no existe y WolframAlpha también lo dice y estoy atascado aquí. Si mi suposición es correcta, ¿cómo demostrarlo correctamente?

Answer 1

El límite no existe. Si $n\in\mathbb N$ entonces $$f\left(\sqrt{\frac1{n^2}+\frac1{n^4}},\frac1n\right)=\left(\left(\frac1{n^2}+\frac1{n^4}\right)^{5/2}-\frac1{n^5}\right)n^8$$ y $$\lim_{n\to\infty}\left(\left(\frac1{n^2}+\frac1{n^4}\right)^{5/2}-\frac1{n^5}\right)n^8=\infty.$$

Answer 2

Creo que tu sustitución te da una pista. Los ángulos $\tan\phi =\pm 1$ son los problemáticos, es decir, el límite a lo largo de las líneas $\pm x=y$ . Puedes comprobar que en estas líneas hay una divergencia.

Answer 3

En la publicación, $$ f(r,\phi)=\frac{r(\cos^5\phi -\sin^5\phi )}{(\cos^2\phi -\sin^2\phi)^2} = \underbrace{\frac{r}{\cos\ \phi-\sin\ \phi}}_{=g}\underbrace{\frac{\sum_{i=1}^4\ \sin^i\phi\cos^{4-i}\phi }{(\cos\ \phi+\sin\ \phi)^2} }_{=h}$$

Cuando $f(r,0)=r$ Así que $\lim_r\ f=0$ .

Además, $\lim_{\phi \rightarrow \pi/4}\ h $ existe. Tenemos una secuencia $\phi_n<\pi/4,\ \phi_n\rightarrow \pi/4$ s.t. $ \cos\ \phi_n > \sin\ \phi_n$ . Dejamos que $$r_n =\sqrt{\cos\ \phi_n - \sin\ \phi_n}.$$ Por lo tanto, $$ g(r_n,\phi_n) = \frac{1}{\sqrt{ \cos\ \phi_n - \sin\ \phi_n }}\rightarrow \infty$$ para que $f(r_n,\phi_n)$ va a $\infty$ .